最低公共祖先

二叉樹結點的定義如下：

[cpp]view plain

copy

struct

node ;  

給定二叉樹中的兩個結點，輸出這兩個結點的最低公共祖先結點（lca）。注意，該二叉樹不一定是二叉搜尋樹。

比如給定的二叉樹如下所示，則可以知道結點1和5的最低公共祖先結點為5，結點4和5的最低公共祖先結點為5。

_______3______

/              \
___5__          ___1__
/      \        /      \
6      _2       0       8
/  \
7   4

我們可以從根結點出發，判斷當前結點的左右子樹是否包含這兩個結點。如果左子樹包含兩個結點，則它們的最低公共祖先結點也一定在左子樹中。如果右子樹包含兩個結點，則它們的最低公共祖先結點也一定在右子樹中。如果乙個結點在左子樹，而另乙個結點在右子樹中，則當前結點就是它們的最低公共祖先結點。根據該思路寫出**如下，注意這裡已經假定p和q是二叉樹中的結點。

[cpp]view plain

copy

/*查詢二叉樹中兩個結點最低公共祖先結點*/

struct

node* lca(

struct

node *root, 

struct

node *p, 

struct

node *q)   

/*判斷root為根的樹是否包含結點p*/

bool

hasnode(

struct

node* root, 

struct

node* p)    

由於我們對每個結點都呼叫了hasnode函式，而該函式類似於遍歷二叉樹，複雜度為o(n)，所以總的時間複雜度為o(n^2)，我們期望找到乙個更好的方法。

由於自頂向下的方法需要重複遍歷結點，使用自底向上的方法可以避免這種情況。

自底向上遍歷結點，一旦遇到結點等於p或者q，則將其向上傳遞給它的父結點。父結點會判斷它的左右子樹是否都包含其中乙個結點，如果是，則父結點一定是這兩個節點p和q的lca，傳遞父結點到root。如果不是，我們向上傳遞其中的包含結點p或者q的子結點，或者null(如果子結點不包含任何乙個)。該方法時間複雜度為o(n)。

[cpp]view plain

copy

typedef

struct

node node;  

node *lca(node *root, node *p, node *q)   

還有乙個方法就是依次得到從根結點到結點p和q的路徑，找出它們路徑中的最後乙個公共結點即是它們的lca。該演算法在何海濤先生的部落格中有詳細描述，這裡就不贅述，詳見該方法複雜度也為o(n)，不過需要額外的空間儲存路徑，當然第2種方法中遞迴也是需要棧空間的，不過整體來看第2種方法簡潔但是不是很好理解，而公共路徑法則更加易懂。

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