部分揹包問題貪心選擇性質的證明
貪心選擇性質：問題的整體最優解可以由一系列子問題的最優選擇，既貪心選擇得到。
問題描述：假設有n個物體c1,n分別標記為：1, 2, …, n。其價值分別為：v1, v2,…, vn，重量分別為：w1， w2， …, wn。揹包的容量為w。則部分揹包問題可以描述為：存
在乙個n元向量（x1， x2， …, xn），在
按照單位價值vi/wi從大到小排好序的，即：v1/w1 > v2/w2 > … > vn/wn。如果不是，則對c1,n重新編號即可。
於是部分揹包問題的貪心選擇性質可以描述為：每次從ci,j中選擇物品，都是優先考慮選擇物品i，且在滿足條件1的情況下，xi 越接近1越好。下面用數學歸納法證明這一貪心選擇性質：
記ai,j為從物品ci,j中選擇裝進揹包的最優解，則原問題為求a1,n。再記k為第k次從c中選物品進揹包。則：
ⅰ）當k=1時，滿足貪心選擇性質，即第一次選物品p進揹包，且p=1。下面用反證法證明：
若p≠1，則p≥2。但在此情況下不能保證a1,n最優。試考慮w1=w的情況下，另外乙個解a1,n
』=的價值v』更大（因為v1/w1 > v2/w2 > …> vn/wn）。既a1,n不是最優解，產生矛盾。所以p=1。
ⅱ）在滿足條件1的情況下，假設k≤z時，滿足貪心選擇性質。既前z（包括z）次從cz,n中選擇物品，都是優先考慮選擇物品z，且在滿足條件1的情況下，xi 越接近1越好。
ⅲ）在滿足條件1的情況下，當k=z+1時，證明也滿足貪心選擇性質，既第k=z+1次選物品（z+1）。
先證明a1,n的子問題az+1,n也具有最優性質：如果存在cz+1,n中選擇物品的子問題的解az+1,n
』的總價值比az+1,n的總價值更大，那麼az+1,n
』與a1,z合併後的原問題的解a1,n
』的總價值比a1,n的總價值更大。這與a1,n是最優解矛盾。所以az+1,n也具有最優性質。
於是第k=z+1次選擇物品等價於子問題az+1,n的第一次選擇物品，又因為在ⅱ）假設成立的情況下，c1,n的前z個物品已經被選了，所以轉換成az+1,n從cz+1,n中選擇第乙個物品。根據ⅰ），顯然優先選擇物品（z+1）。所以結論得證。
∴ 綜合ⅰ）ⅱ）ⅲ），得證部分揹包問題具有最優選擇性質。
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