將一根木棍分成三段，求這三段構成三角形的概率

題目：將一根木棍分成三段，求這三段構成三角形的概率。

方法一：

設線段長度為a，任意分成三段長分別為x，y和a-x-y，顯然有x>0，y>0，a-x-y>0，將這三個約束條件畫到(x,y)二維平面座標系上，這三條直線圍成了乙個直角三角形即為可行域（圖1），其面積為(1/2)a^2。

而這三段長能構成三角形的條件是：任意兩邊之和大於第三邊，也就是下面三個不等式得同時成立：

x + y > a - x - y (x + y < a/2)

x + a - x - y > y (y < a/2)

y + a - x - y > x (x < a/2)

我們把上面三個不等式也畫在平面直角座標系中，可以看到可行域為圖2中綠色的小三角形，其面積為:(1/8)a^2 ，佔整個三角形的1/4。

故此三段能構成三角形的概率為1/4。

圖1. 將a分成三段，每段大於零

圖2. 三段可以構成三角形

方法二：

我們把一根木棍看成單位1，現在要在[0, 1]區間上選兩個點，使得這兩點劃分的三條線段可以構成三角形。

現在我們先隨意放乙個點，可以在[0, 1]區間上的任何點，假設位置為x（不妨設x < 1/2，在右半邊是對稱的情況），那麼如圖3所示，為了使得能夠構成三角形，另外乙個點可以選取的區間為圖中紅色虛線之間（1/2, 1/2+x）。

只考慮x在左半邊的時候，可以構成三角形的概率為：

右半邊是一樣的1/8，因此總概率為1/4。

圖3. 在[0, 1]區間上兩個斷點可以放的位置