組合遊戲（博弈）

昨天看大白書翻到了組合遊戲這章，看著發覺原來是博弈論的內容，於是便看下去了。真是不看不知道，一看才知道自己的水平有多弱，不過好在還是集中精神地看了大部分。從nim遊戲（n堆石子，每人每次可以從任意一堆中取至少1個、至多整堆的石子，不能取者為輸）開始講起，引入必勝態、必敗態的概念——

1. 乙個狀態是必敗狀態當且僅當它的所有後繼都是必勝狀態。

2. 乙個狀態是必勝狀態當且僅當它至少有乙個後繼是必敗狀態。

這是劉汝佳大神說的，說得通俗一點就是，必敗態的所有後繼都是必勝態，必勝態只需有乙個後繼是必敗態即可（這裡說的必勝態、必敗態都是針對先手來說必勝、必敗的意思）。可以看出必敗態滿足的條件比必勝態更苛刻。沒有後繼狀態的是必敗態（也就是終態），一般規則都是不能操作的遊戲者為輸（是在雙方都足夠聰明的前提下的），然後可以用乙個有向無環圖來表示二人博弈的過程。實際上，並不需要這樣子做。對於nim遊戲來說，早有科學家給出了乙個定理：狀態（x1,x2.....xn）為必敗狀態當且僅當x1^x2^......^xn= 0，即把所有數進行異或和操作，也稱nim sum。能夠證明，當nim sum為0 時為必敗狀態，非0 時為必勝狀態，這是因為，當前狀態為0 時，進行的某個操作總能使nim sum變為非0（因為改變任何乙個數字（即任何一堆石子），它的二進位制形式會有一位或多位的變化，此時原本各位上都為0 的nim sum就會有所變動（某些位會變成1）），即所有後繼都是必勝狀態了；當前狀態為非0 時，必定會有某個操作能使nim sum變為0（只需在nim sum二進位製上那些為1的位上面著手即可），即一定有乙個後繼狀態為必敗態。這就是bouton定理。

然而，看到後面我才知道，bouton定理實質上是sg定理的具體應用。什麼是sg定理呢？先要介紹下sg函式：對於任意狀態x，定義sg(x)= mex(s)，其中s是x 的後繼狀態的sg函式值的集合，而mex(s)表示不在s內的最小非負整數。看到這兒是不是感到有點遞迴的味道了？沒錯，實際上，它可以用遞推來求出各個sg函式的值（要很注意計算順序，結合具體題目分析），也可以用加記憶化的深搜回溯（不建議使用）。而sg定理就是，遊戲和的必勝(敗)態等於各個子遊戲的sg函式的nim sum。這樣，就可以把各個子遊戲分而治之，大大簡化了問題。事實上，很多題目雖然可以套用這些理論來分析（這個確實是真的，sg函式是解決博弈問題的王道！），但往往不會那麼生硬地要你去求各個子sg函式，做這些博弈題的時候，一定要看清題意，抓住問題的本質（這句話…對於所有題目都適用），直接搞就行(0.0)，只要找清它的必勝態、必敗態處於具有什麼特徵的位置（一般會有個週期的），明顯的話一兩個迴圈即可搞掂，別想太多（我有時候刷題就是想太多，總想套上什麼特定的演算法，模板之類的，結果思維放不開來 -.-||）……總之一句話，多刷題、多get經驗才是王道，杭電上面有很多很經典的博弈題（大神們都去刷cf了，別鄙視我等渣渣暫時只會在杭電上找題做），過幾天我去水下上面的博弈題，有時間的話再逐個寫題解吧~

——以上理論均引自劉汝佳的大白書，加上了自己的見解，感覺說得不是很清楚的話可以去大白書上 2.4 組合遊戲的章節中詳細閱讀，不喜勿噴，希望各路大神路過指教下。

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博弈 ICE公平組合遊戲（簡單整理結論）

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