線段樹(interval tree) 是把區間逐次二分得到的一樹狀結構，它反映了包括歸併排序在內的很多分治演算法的問題求解方式。上圖是一棵典型的線段樹，它對區間[1,10]進行分割，直到單個點。這棵樹的特點
是：1. 每一層都是區間[a, b]的乙個劃分，記 l = b - a
2. 一共有log2l層
3. 給定乙個點p，從根到葉子p上的所有區間都包含點p，且其他區間都不包含點p。
4. 給定乙個區間[l; r]，可以把它分解為不超過2log2 l條不相交線段的並。
其中第四點並不是很顯然，圖8.1顯示了[2, 8]的分解方式，深灰色結點為分解後的
區間，淺灰色結點是遞迴分解過程中經過的結點。為了敘述方便，下面稱樹中的結點
所對應的區間為樹中區間。
從第3點和第4點可以得出結論：修改乙個點只用修改log2 l個樹中區間資訊，而統計乙個區間只需要累加2log2 l個樹中區間的資訊，且訪問的總結點數是o(log l)的。兩個操作都很容易實現。
動態統計問題i 有乙個包含n個元素的整數陣列a，每次可以修改乙個元素，也可以詢問某乙個區間[l; r]內所有元素的和。如何設計演算法，使得修改和詢問操作的時間複雜度盡量低？
方法一 直接做， 則修改操作是o(1)的， 但詢問需要進行累加， 時間複雜度為o(r ¡ l)，最壞情況為o(n)。
方法二 建立一棵線段樹，每個樹中區間記錄該區間的元素和，則由剛才的結論，修改元素時只需要修改log2 l個樹中區間的元素和，而統計時只需要累加2log2 l個樹中區間的元素和，兩個操作都是o(log n)的，比方法一好很多。
動態統計問題ii 有乙個包含n個元素的整數陣列a，每次可以同時給乙個區間[l; r]內的數同時增加乙個數d（d可以為負），也可以詢問某乙個數ai的值。如何設計演算法，使得修改和詢問操作的時間複雜度盡量低？
如何快速修改乙個區間？修改乙個樹中區間[a; b]將影響到以[a; b]為根的整棵子樹和它的所有祖先，所以如果沿用剛才的線段樹定義，是不可能快速實現區間修改操作的。
解決方法是借用資料結構中常用的\懶操作"的思想，只記錄有哪些操作需要執行，而不去真正執行這些操作。換句話說，在需要給樹中區間[l; r]的元素同時增
加d時，我們只記錄\曾經有一條指令add(l, r, d)"就可以了。我們把記錄的這個值稱為樹中區間的add值，則葉結點的元素值為它所有祖先的add值之和。根據前面的結論，每一條任意區間的修改指令可以分解成2log2 l個樹中區間的修改指令，且修改操作具有疊加性，因此修改操作的時間複雜度為o(log n)。查詢操作只
需要累加葉子的所有祖先，它也是o(log n)的。
動態統計問題iii 有乙個包含n個元素的整數陣列a，每次可以同時給乙個區間[l; r]內的數同時增加乙個數d（d可以為負），也可以詢問乙個區間[l; r]內所有元素的和。如何設計演算法，使得修改和詢問操作的時間複雜度盡量低？
顯然前兩個問題都是此問題的特殊情況，因此這個問題比前兩個問題難度更大。注意到上乙個問題線段樹只能提供葉結點的真正元素和，因為對於任何乙個樹中區間[l; r]來說，影響它的指令所修改的區間不僅包括它的所有祖先，也包括它的所有後代。所以[l; r]內的所有元素和應該等於[l; r]的所有祖先的add值加上[l; r]所有後代的add值。
但後代有很多，直接累加的時間開銷過大。這裡需要再一次利用線段的樹的區間相加性質，記錄乙個附加值sum_of_add，表示以[l; r]為根的子樹上所有樹中區間的add值之和。
修改操作把區間分解為樹中區間，修改它們的add值，並且要順便修改它們父親的sum_off_add值。由於區間分解過程訪問的總結點是o(log l)的，因此修改操作是o(log n)的。
查詢操作把區間分解為樹中區間，並統計它們所有祖先的add值之和，再與這些樹中區間本身的sum_off_add相加即可。
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