AC自動機演算法詳解

首先簡要介紹一下ac自動機：aho-corasick automation，該演算法在2023年產生於貝爾實驗室，是著名的多模匹配演算法之一。乙個常見的例子就是給出n個單詞，再給出一段包含m個字元的文章，讓你找出有多少個單詞在文章裡出現過。要搞懂ac自動機，先得有模式樹（字典樹）trie和kmp模式匹配演算法的基礎知識。ac自動機演算法分為3步：構造一棵trie樹，構造失敗指標和模式匹配過程。

如果你對kmp演算法和了解的話，應該知道kmp演算法中的next函式（shift函式或者fail函式）是幹什麼用的。kmp中我們用兩個指標i和j分別表示，a[i-j+ 1..i]與b[1..j]完全相等。也就是說，i是不斷增加的，隨著i的增加j相應地變化，且j滿足以a[i]結尾的長度為j的字串正好匹配b串的前 j個字元，當a[i+1]≠b[j+1]，kmp的策略是調整j的位置（減小j值）使得a[i-j+1..i]與b[1..j]保持匹配且新的b[j+1]恰好與a[i+1]匹配，而next函式恰恰記錄了這個j應該調整到的位置。同樣ac自動機的失敗指標具有同樣的功能，也就是說當我們的模式串在tire上進行匹配時，如果與當前節點的關鍵字不能繼續匹配的時候，就應該去當前節點的失敗指標所指向的節點繼續進行匹配。

看下面這個例子：給定5個單詞：say she shr he her，然後給定乙個字串yasherhs。問一共有多少單詞在這個字串中出現過。我們先規定一下ac自動機所需要的一些資料結構，方便接下去的程式設計。

1const

int kind = 26; 2

struct node

11 }*q[500001];

//佇列，方便用於bfs構造失敗指標

12char keyword[51];

//輸入的單詞

13char str[1000001];

//模式串

14int head,tail;

//佇列的頭尾指標

有了這些資料結構之後，就可以開始程式設計了：

首先，將這5個單詞構造成一棵tire，如圖-1所示。

1void insert(

char *str,node *root)

10 p->count++;

//在單詞的最後乙個節點count+1，代表乙個單詞

11 }

在構造完這棵tire之後，接下去的工作就是構造下失敗指標。構造失敗指標的過程概括起來就一句話：設這個節點上的字母為c，沿著他父親的失敗指標走，直到走到乙個節點，他的兒子中也有字母為c的節點。然後把當前節點的失敗指標指向那個字母也為c的兒子。如果一直走到了root都沒找到，那就把失敗指標指向root。具體操作起來只需要：先把root加入佇列(root的失敗指標指向自己或者null)，這以後我們每處理乙個點，就把它的所有兒子加入佇列，隊列為空。

1void build_ac_automation(node *root)

18 p=p->fail;

19 } 20

if(p==null) temp->next[i]->fail=root;

21 }

22 q[head++]=temp->next[i];

23 }

24 }

25 }

26 }

從**觀察下構造失敗指標的流程：對照圖-2來看，首先root的fail指標指向null，然後root入隊，進入迴圈。第1次迴圈的時候，我們需要處理2個節點：root->next[『h』-『a』](節點h) 和 root->next[『s』-『a』](節點s)。把這2個節點的失敗指標指向root，並且先後進入佇列，失敗指標的指向對應圖-2中的(1)，(2)兩條虛線；第2次進入迴圈後，從佇列中先彈出h，接下來p指向h節點的fail指標指向的節點，也就是root；進入第13行的迴圈後，p=p->fail也就是p=null，這時退出迴圈，並把節點e的fail指標指向root，對應圖-2中的(3)，然後節點e進入佇列；第3次迴圈時，彈出的第乙個節點a的操作與上一步操作的節點e相同，把a的fail指標指向root，對應圖-2中的(4)，併入隊；第4次進入迴圈時，彈出節點h(圖中左邊那個)，這時操作略有不同。在程式執行到14行時，由於p->next[i]!=null(root有h這個兒子節點，圖中右邊那個)，這樣便把左邊那個h節點的失敗指標指向右邊那個root的兒子節點h，對應圖-2中的(5)，然後h入隊。以此類推：在迴圈結束後，所有的失敗指標就是圖-2中的這種形式。

最後，我們便可以在ac自動機上查詢模式串中出現過哪些單詞了。匹配過程分兩種情況：(1)當前字元匹配，表示從當前節點沿著樹邊有一條路徑可以到達目標字元，此時只需沿該路徑走向下乙個節點繼續匹配即可，目標字串指標移向下個字元繼續匹配；(2)當前字元不匹配，則去當前節點失敗指標所指向的字元繼續匹配，匹配過程隨著指標指向root結束。重複這2個過程中的任意乙個，直到模式串走到結尾為止。

1int query(node *root)

15 i++;

16 } 17

return cnt;

18 }

對照圖-2，看一下模式匹配這個詳細的流程，其中模式串為yasherhs。對於i=0,1。trie中沒有對應的路徑，故不做任何操作；i=2,3,4時，指標p走到左下節點e。因為節點e的count資訊為1，所以cnt+1，並且講節點e的count值設定為-1，表示改單詞已經出現過了，防止重複計數，最後temp指向e節點的失敗指標所指向的節點繼續查詢，以此類推，最後temp指向root，退出while迴圈，這個過程中count增加了2。表示找到了2個單詞she和he。當i=5時，程式進入第5行，p指向其失敗指標的節點，也就是右邊那個e節點，隨後在第6行指向r節點，r節點的count值為1，從而count+1，迴圈直到temp指向root為止。最後i=6,7時，找不到任何匹配，匹配過程結束。

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