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01揹包問題，是用來介紹動態規劃演算法最經典的例子，網上關於01揹包問題的講解也很多，我寫這篇文章力爭做到用最簡單的方式，最少的公式把01揹包問題講解透徹。
f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重為 j 的揹包中，可以取得的最大價值。
pi表示第i件物品的價值。
決策：為了揹包中物品總價值最大化，第 i件物品應該放入揹包中嗎 ？
題目描述：
有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？
name
weight
value12
3456
78910
a260
6699
1212
151515b
2303
3669
991011c6
5000
6666
61011d
5400
0666
661010e4
6000
6666
666只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01揹包的動態規劃演算法。
首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。
為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，揹包裝不了。
對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個揹包能裝的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
對於承重為8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？
根據01揹包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，
乙個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另乙個是f[i-1,j-wi]+pi；
在這裡，
f[i-1,j]表示我有乙個承重為8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值
f[i-1,j-wi]表示我有乙個承重為6的揹包（等於當前揹包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值
f[i-1,j-wi]就是指單元格b6,值為9，pi指的是a物品的價值，即6
由於f[i-1,j-wi]+pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重為8的揹包
好，至此我們解決了揹包問題中最基本的0/1揹包問題。等等，這時你可能要問，
我現在只知道揹包能裝入寶石的最大價值，但我還不知道要往揹包裡裝入哪些寶石啊。
嗯， 好問題！讓我們先定義乙個陣列x，對於其中的元素為1時表示對應編號的寶石放入揹包， 為0則不放入。讓我們回到上面的例子，對於體積為5，4，3，價值為20，10，12的3個寶石 ，如何求得其對應的陣列x呢？（明顯我們目測一下就知道x=， 但程式可目測不出來）ok，讓我們還是從狀態說起。如果我們把2號寶石放入了揹包， 那麼是不是也就意味著，前3個寶石放入揹包的最大價值要比前2個寶石放入揹包的價值大， 即：d(3, 10)>d(2, 10)。再用字母代替具體的數字 （不知不覺中我們就用了不完全歸納法哈），
當d(i, j)>d(i-1, j)時，x(i-1)=1;j=j-w[i];ok，
int j=c-1;
for(int i=n-1;i>0;i--) }
if(d[0][j]>0)
x[0]=1;
完整的程式：
#includeusing namespace std;
const int n=5;
const int c=10;
int v=,w=;//下標從0開始
int x[n];
int d[n][c]=;
void find()
else if(j-w[i]<0)//剩餘空間放不下當前的物品
d[i][j]=d[i-1][j];
else
d[i][j]=max(d[i-1][j],d[i-1][j-w[i]]+v[i]);
} }}
void main()
} if(d[0][j]>0)
x[0]=1;
for(int i=0;i
動態規劃揹包問題 01揹包
問題描述 n種物品，每種乙個。第i種物品的體積為vi，重量為wi。選一些物品裝到容量為c的揹包，使得揹包內物品不超過c的前提下，重量最大。問題分析 宣告乙個f n c 的陣列。f i j 表示把前i件物品都裝到容量為j的揹包所獲得的最大重量。當 j v i 時，揹包容量不足以放下第 i 件物品，f ...
動態規劃 揹包問題 01揹包
有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品僅用一次。第i件物品的費用是w i 價值是v i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。例如 n 5,v 10 重量 價值 第乙個物品 10 5 第二個物品 1 4 第三個物品 2 3 第四個物品 3 2 第五個物品 4 1 首先我們考慮貪心策略，選取最大價...
0 1揹包問題（動態規劃）
一 問題描述 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。所謂01揹包，表示每乙個物品只有乙個，要麼裝入，要麼不裝入。二 解決方案 考慮使用動態規劃求解，定義乙個遞迴式 opt i v 表示前i個物品，在揹包容量大小為v的情況下，最...