經常會遇到複雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題。簡單地採用把大問題分解成子問題，並綜合子問題的解匯出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規模呈冪級數增加。
為了節約重複求相同子問題的時間，引入乙個陣列，不管它們是否對最終解有用，把所有子問題的解存於該陣列中，這就是動態規劃法所採用的基本方法。
【問題】 求兩字串行的最長公共字元子串行
問題描述：字串行的子串行是指從給定字串行中隨意地（不一定連續）去掉若干個字元（可能乙個也不去掉）後所形成的字串行。令給定的字串行x=「x0，x1，…，xm-1」，序列y=「y0，y1，…，yk-1」是x的子串行，存在x的乙個嚴格遞增下標序列，使得對所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，x=「abcbdab」，y=「bcdb」是x的乙個子串行。
考慮最長公共子串行問題如何分解成子問題，設a=「a0，a1，…，am-1」，b=「b0，b1，…，bm-1」，並z=「z0，z1，…，zk-1」為它們的最長公共子串行。不難證明有以下性質：
（1） 如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且「z0，z1，…，zk-2」是「a0，a1，…，am-2」和「b0，b1，…，bn-2」的乙個最長公共子串行；
（2） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊涵「z0，z1，…，zk-1」是「a0，a1，…，am-2」和「b0，b1，…，bn-1」的乙個最長公共子串行；
（3） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊涵「z0，z1，…，zk-1」是「a0，a1，…，am-1」和「b0，b1，…，bn-2」的乙個最長公共子串行。
這樣，在找a和b的公共子串行時，如有am-1=bn-1，則進一步解決乙個子問題，找「a0，a1，…，am-2」和「b0，b1，…，bm-2」的乙個最長公共子串行；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個子問題，找出「a0，a1，…，am-2」和「b0，b1，…，bn-1」的乙個最長公共子串行和找出「a0，a1，…，am-1」和「b0，b1，…，bn-2」的乙個最長公共子串行，再取兩者中較長者作為a和b的最長公共子串行。
求解：引進乙個二維陣列c，用c[i][j]記錄x[i]與y[j] 的lcs 的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪乙個子問題的值求得的，以決定搜尋的方向。
我們是自底向上進行遞推計算，那麼在計算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據x[i] = y[j]還是x[i] != y[j]，就可以計算出c[i][j]。
注：對於b[i][j]的理解，求解最長公共子串行，最長的子串行的獲得可能是在上一步求解基礎上x序列方向上遞增乙個得到的，有可能是y序列方向上遞增乙個得到的，也有可能是x序列和y序列同時遞增乙個得到的。所以程式中使用了0，1，-1來賦值給b陣列，表示當前位置對應的c陣列中的最優解是來自於左上方（0）、1（上方）或-1（左方）。
所以問題的的求解過程可以描述為：
求解過程中c陣列中的值為：
分析：在陣列c中使用了多餘的一行c[0]和多餘的一列c[0]，這樣做的好處是，這一行和這一列賦上初值0之後，會簡化後面的計算，因為上面的分析下一步的最優解可能來自於左上、上、左三個方向的值。可以看到c陣列中每乙個位置上的值都是兩個序列長度分別為i和j時最長子序列的值。
程式為：
#include #include #define maxlen 100
void lcslength(char *x, char *y, int m, int n, int c[maxlen], int b[maxlen])
else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) /*來自性質(2)*/
else /*來自性質(3)*/}}
}void printlcs(int b[maxlen], char *x, int i, int j)
else if(b[i][j] == 1)
printlcs(b, x, i-1, j);
else
printlcs(b, x, i, j-1);
}int main(int argc, char **argv)
; char y[maxlen] = ;
int b[maxlen][maxlen];
int c[maxlen][maxlen];
int m, n;
m = strlen(x);
n = strlen(y);
lcslength(x, y, m, n, c, b); /*計算最長公共序列*/
/*輸出最長公共序列，可能有多個解，這裡只輸出乙個*/
printf("answer is: ");
printlcs(b, x, m, n);
printf("\n");
return 0;
}
注意：程式的解可能遠不止這乙個，因為從圖上可以至少再得出bcab以及bdab兩個解，如果要得出每乙個解，需要完善的地方是在c最後一行和最後一列，有許多值都跟c[m][n]也就是其最後乙個單元的值一致，這種一致的值也可能是乙個最優解（當然也可能是重複的），最優的解一定都在這兩條直線上，因為有c[i][j] >= c[i-1][j]、c[i][j] >= c[i][j-1]、c[i][j] > c[i-1][j-1]總是成立。另外在程式中當x[i-1] != y[j-1]，本來應該取左方的值或者上方的值，但是左方的值和上方的值有可能是相等的，程式中並沒有單獨處理，這個時候可以用乙個判等的將方向的陣列b賦值為2（只要不是0,1,-1即可），表示這個值可以接收來自兩個方向，這樣才能保證解的完整性，這裡就不具體實現了。
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