分類： 小結
2014-06-06 14:57
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舉報最短路徑問題是圖論研究中的乙個經典演算法問題， 旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。 演算法具體的形式包括：
確定起點的最短路徑問題 - 即已知起始結點，求最短路徑的問題。
確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。
確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。
全域性最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑。
最常用的路徑演算法有：
1.floyd演算法。
2.dijkstra演算法。
3.bellman-ford演算法。
4.spfa演算法。
下面逐個來講解。。。
1.floyd演算法。
求多源、無負權邊的最短路。時效性較差，時間複雜度o(v^3)。空間複雜度為o(n^2)。是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法。
核心**：
[html]view plain
copy
?<
span
style
="font-size:14px;"
>
void floyd(int n)
span
>
2.dijkstra演算法
求單源、無負權的最短路。時效性較好，時間複雜度為o（v*v+e）；
以貪心法選取未被處理的具有最小權值的節點，然後對其的出邊進行鬆弛操作；
核心**：
[html]view plain
copy
?int dijkstra (int v)
//進行n-1次操作 選擇最短路
for (i=1
;i<
n;i++)
} vist[pos]=1;
//鬆弛操作
for (j=1
;j<
=n;j++)
} return dis[n];
}
3.bellman-ford演算法
求單源最短路，可以判斷有無負權迴路（若有，則不存在最短路），時效性較好，時間複雜度o（ve）。和dijkstra一樣都以鬆弛操作為基礎，即估計的最短路徑值漸漸地被更加準確
的值替代，直至得到最優解。
它的原理是對圖進行n-1次鬆弛操作，得到所有可能的最短路徑。其優於
dijkstra的方面是邊的權值可以為負數、實現簡單，缺點是時間複雜度過高
。但是可以進行優化，提高效率。
負權環判定
因為負權環可以無限制的降低總花費，所以如果發現第n次操作仍可降低花銷，
就一定存在負權環。
核心**：
[html]view plain
copy
?<
prename
="code"
class
="html"
>
struct node
p[inf];
int dis[inf];//用來儲存遠點至當前點的最短路徑 迭代更新
// 點數 邊數 源點
int nodenum,edgenum,source,i,j;
//初始化
void init ()
dis[source]=0;
for (i=0
; i<
edgenum
; i++)
} int bellman_ford ()
} if (flag
==0)
break;
} //判斷負環
//上面兩層for迴圈結束之後 dis陣列裡儲存的就是遠點到當前點的最短路
//如果還能進行鬆弛操作的話就說明有負環存在
for (i=0
; i<
edgenum
; i++)
} }
4.spfa演算法是bellman-ford的佇列優化，時效性相對好，時間複雜度o（ke）。（k<核心**：
[html]view plain
copy
?void spfa(int s，int e) // s點 到 e點
} } vis[p] = 0;
} if(dis[e]!= inf)
printf("%d\n",dis[e]);
else
printf("-1\n");
}
最短路小結
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