有一種很有意思的遊戲，就是有物體若干堆，可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。兩個
人輪流從堆中取物體若干，規定最後取光物體者取勝。這是我國民間很古老的乙個遊戲
，別看這遊戲極其簡單，卻蘊含著深刻的數學原理。下面我們來分析一下要如何才能夠
取勝。
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（一）巴什博奕（bash game）：只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規
定每次至少取乙個，最多取m個。最後取光者得勝。
顯然，如果n=m+1，那麼由於一次最多只能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，
後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則：如果
n=（m+1）r+s，（r為任意自然數，s≤m),那麼先取者要拿走s個物品，如果後取者拿走
k（≤m)個，那麼先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以後保持這樣的
取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最後獲勝。
這個遊戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報乙個，最多報十
個，誰能報到100者勝。
（二）威佐夫博奕（wythoff game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同
時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況下是頗為複雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示
兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們
稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，
10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k，奇異局勢有
如下三條性質：
1。任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中。
由於ak是未在前面出現過的最小自然數，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak
-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質1。成立。
2。任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。
事實上，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某乙個分量，那麼另乙個分量不可能在其
他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由
於其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。
3。採用適當的方法，可以將非奇異局勢變為奇異局勢。
假設面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變為了
奇異局勢（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那麼，取走b - bk個物體，即變為奇異局
勢；如果 a = ak ， b < bk ,則同時從兩堆中拿走 ak - ab - ak個物體,變為奇異局
勢（ ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,則從第一堆中拿走多餘
的數量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）
,從第二堆裡面拿走 b - bj 即可；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆裡面拿走 b - a
j 即可。
從如上性質可知，兩個人如果都採用正確操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝
；反之，則後拿者取勝。
那麼任給乙個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括號表示取整函式)
奇妙的是其中出現了**分割數（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk組成的矩形近
似為**矩形，由於2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[
j（1+√5）/2]，那麼a = aj，bj = aj + j，若不等於，那麼a = aj+1，bj+1 = aj+1
+ j + 1，若都不是，那麼就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行，一定會遇到奇異
局勢。（三）尼姆博奕（nimm game）：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的
物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況最有意思，它與二進位制有密切關係，我們用（a，b，c）表示某種局勢，首
先（0，0，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是
（0，n，n），只要與對手拿走一樣多的物品，最後都將導致（0，0，0）。仔細分析一
下，（1，2，3）也是奇異局勢，無論對手如何拿，接下來都可以變為（0，n，n）的情
形。 計算機演算法裡面有一種叫做按位模2加，也叫做異或的運算，我們用符號（+）表示
這種運算。這種運算和一般加法不同的一點是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的結
果：1 =二進位制01
2 =二進位制10
3 =二進位制11 （+）
———————
0 =二進位制00 （注意不進製）
對於奇異局勢（0，n，n）也一樣，結果也是0。
任何奇異局勢（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。
如果我們面對的是乙個非奇異局勢（a，b，c），要如何變為奇異局勢呢？假設 a < b
< c,我們只要將 c 變為 a（+）b,即可,因為有如下的運算結果: a（+）b（+）(a（+）
b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要將c 變為a（+）b，只要從 c中減去 c-（
a（+）b）即可。
例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以從39中拿走12個物體即可達
到奇異局勢（14，21，27）。
例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以從121中拿走19個物品
就形成了奇異局勢（55，81，102）。
例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，從58中拿走10個，變為（29，4
5，48）。
例4。我們來實際進行一盤比賽看看：
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇異局勢
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇異局勢
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇異局勢
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇異局勢
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇異局勢
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇異局勢
甲勝。
ACM中的博弈問題
取石子問題 有一種很有意思的遊戲，就是有物體若干堆，可以是火柴棍或是圍棋子等等均可。兩個人輪流從堆中取物體若干，規定最後取光物體者取勝。這是我國民間很古老的乙個遊戲，別看這遊戲極其簡單，卻蘊含著深刻的數學原理。下面我們來分析一下要如何才能夠取勝。一 巴什博奕 bash game 只有一堆n個物品，兩...
ACM博弈論總結
常用的4個博弈論演算法 巴什博奕，威佐夫博奕，尼姆博奕，斐波那契博弈 只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取乙個，最多取m個。最後取光者得勝。顯然，如果n m 1，那麼由於一次最多只能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現了如...
acm博弈論基礎
一 bash game 巴什博弈 一堆n個物品，兩個人輪流從中取出1 m個，最後取光者勝 不能繼續取的人輸 1，分析 首先n一定可以表示為 n k m 1 r 0 r m 二 wythoff game 威佐夫博弈 有兩堆各若干物品，兩個人輪流從任意一堆中至少取出乙個或者從兩堆中取出同樣多的物品，規定...