有 1000 枚硬幣堆在一起。把它們任意分成兩堆，並計算出這兩堆的硬幣數的乘積。然後，任意選擇其中的一堆硬幣，把它繼續分成兩個更小的堆，並計算出這兩堆的硬幣數的乘積。不斷這樣做下去，直到最後每堆都只剩一枚硬幣為止。求證：把途中產生的所有乘積全部加在一起，結果是乙個定值，它不隨分法的改變而改變。
這是乙個非常經典的問題。讓我們把 1000 枚硬幣換成 n 枚硬幣，這樣的話問題反而會更容易一些。如果初始時有 n 枚硬幣，把它們分到底後，產生的所有乘積之和是多少呢？考慮一種特殊的分法：把 n 分成 1 和 n - 1 兩堆，再把 n - 1 分成 1 和 n - 2 兩堆……顯然，由此得到的總和應該是 (n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1 = n(n - 1) / 2 。有了這個公式後，我們便很容易用數學歸納法證明，不管分法是什麼，最終的結果一定是 n(n - 1) / 2 。首先驗證，當 n = 1 時， n(n - 1) / 2 = 0 ，這是符合實際情況的：單獨一枚硬幣不會產生任何新的乘積。對於一般的 n ，把它分成 x 和 n - x 兩堆，得到乘積 x(n - x) 。由歸納假設，這兩堆硬幣今後將各產生總和為 x(x - 1) / 2 的乘積，以及總和為 (n - x)(n - x - 1) / 2 的乘積。不難算出，x(n - x) + x(x - 1) / 2 + (n - x)(n - x - 1) / 2 正是 n(n - 1) / 2 。
其實，這個問題有乙個異常帥的秒殺方法。每次把一堆硬幣分成兩堆後，計算兩堆硬幣數量的乘積，實際上相當於是在計算有多少對硬幣在這一步被分開了。最後所有乘積的總和，也就是在整個過程中被分開的硬幣對的總數。然而， n 枚硬幣之間共有 c(n, 2) = n(n - 1) / 2 個硬幣對，所有的硬幣對最終都被分開了，因而問題的答案就是 n(n - 1) / 2 ，這不隨分法的變化而變化。
現在，讓我們把問題變一下。假設有一根長度為 n 的線段。把它分成兩條子線段，並計算這兩條子線段的長度的乘積。選擇其中一條子線段，並把它繼續分成兩條更小的子線段，求出這兩條子線段的長度的乘積。不斷這樣細分下去，直到所有的子線段長度都趨於 0 。在此過程中，不斷累加所得的乘積，其總和的極限是多少？（注意，這裡的描述還需要更嚴謹一些，不過我們暫不追究。）
顯然，答案應該是乙個比 n(n - 1) / 2 更大的數。因為根據前乙個問題的解答，把長度為 n 的線段分成 n 個長度為 1 的線段，乘積的總和為 n(n - 1) / 2 ；但在此之後，我們還可以繼續切分線段，讓總和繼續增加。那麼，答案究竟是多少呢？我們也可以借助某個特殊的分法得出答案。假設我們按照如下方法把線段無窮細分：先把整條線段等分成兩段，得到乘積 (n / 2)^2 ；再把所得的兩條子線段都進行平分，得到兩個 (n / 4)^2 ；再依次平分當前的四條子線段，得到四個 (n / 8)^2 ……以此類推，最後的總和將會是 (n / 2)^2 + 2 · (n / 4)^2 + 4 · (n / 8)^2 + 8 · (n / 16)^2 + ... = n^2 / 4 + n^2 / 8 + n^2 / 16 + n^2 / 32 + ... = n^2 / 2 。
不過，我們如何證明，任意一種分法都會導致總和最終會趨於 n^2 / 2 ？公升級版的問題變得不再離散，數學歸納法和組合方法似乎都派不上用場了。其實，借助幾何構造，這個問題也有乙個非常直觀的秒殺方法。
如圖，初始時線段的總長為 n ，那麼我們就作乙個邊長為 n 的等腰直角三角形。如果把線段分成了 x 和 y 兩段，由此產生的乘積 x · y 就對應於左圖的等腰直角三角形中陰影矩形的面積。繼續細分兩個子線段，也就相當於遞迴地處理兩個剩餘的空白三角形。當所有子線段都被分到無窮短時，矩形面積的總和將會無窮接近於整個等腰直角三角形的總面積，也就是 n^2 / 2 。
找出所有路徑跨越的總和
解題思路 1 將輸入的路徑按照起點值的大小排序 如測試用例1中排序完後應該是 1 2 4 7 5 8 2 依次計算每段路徑的長度，且要判斷是否與前面的路徑發生重疊，如果發生重疊，則以當前路徑的終點減去上一段路徑的終點 如果沒有重疊時，則以當前路徑的終點減去當前路徑的起點 即以當前路徑的終點減去二者之...
獲取字串中所有漢字的筆畫總和
如題，以備查。using system using system.collections.generic using system.linq using system.text using system.text.regularexpressions namespace chinese return...
素數的形成與無窮素數的證明
素數是一種很有意思的數，原因在於他只有1與本身兩個因數，那麼素數的個數是否是無窮個是乙個有趣的問題。素數的個數為什麼是無窮個，假設素數是有窮個，那麼有窮個素數的乘積加1，也就是x p0 p1 pn 1，如果x是個素數，那麼也就意味著由已知的素數還可以再形成素數，那麼如果它不是素數也就是說x還有除了現...