相關的意義

第四章 相關係數

本章的內容在課程中具有承上啟下的重要作用。一方面，相關係數是反映與描述一組資料的概括性特徵量數，只不過這裡的資料是二元變數的觀測資料。另一方面，對相關係數內容的理解與掌握，是建立在散點圖、平均數、離差、標準差與方差等 內容的基礎上的 。另外，相關分析的思想方法對於學習與研究後續章節有關教育測驗理論或考試理論具有重要的作用。

本章重要的知識點有：相關係數的統計學意義與解釋；積差相關係數計算方法、等級相關係數計算方法，點雙列相關計算方法及結果解釋。本章的難點是點雙列相關係數的計算思想方法和結果的解釋。本章公式較多，容易混淆,在學習本章內容時，不要死記硬背公式,應當在理解統計學相關概念及相關分析的思想方法基礎上，通過閱讀教材內容，系統掌握在不同情形下計算相關係數的方法。考慮到計算相關係數的計算工作量一般較多，因此，考生可更加關注本章內容中的具體例子，領會資料的特點及計算相關係數的再配合做適量的練習，以加深理解。

第一節 相關的統計學意義

一、對相關現象的感覺

教育工作者常發覺，許多教育現象之間或教育行為之間存在著一定的相互聯絡。例如，在學習行為上，隱隱約約地表現出這麼一些特點：學生的數學成績和物理成績之間關係密切，似乎許多數學成績優秀的學生在物理科目上的成績大多也是優秀的，許多數學水平中等的學生在物理科目上的學習水平大多數也是中等的，許多數學成績較差的學生物理科目上的學習成績大多也是較差的。這說明數學成績和物理成績之間確定存在一種「 水漲船高、水落船低 」的互相關聯的趨勢。當然,並不是所有事物之間都有這麼一種相同的明顯的關聯趨勢。比如，數學成績與語文成績之間或語文成績與化學成績之間，其相互關聯的趨勢就不是那麼明顯可察。而另外一些教育現象，例如對學習材料的複習次數與遺忘量之間的關係，其遺忘量在一定範圍內隨著複習次數的增加而減小。可見，行為變數或現象之間存在著種種不同模式不同程度的聯絡。

二、相關的意義及相關係數的初步認識

直線性相關是所有關聯模式中最簡單的一種，有關聯的兩個變數各自以大體均等的速度變化著。若以平面座標散點圖來理解，直線性相關意指：兩個變數的成對觀測資料在平面直角座標系上描點構成的散點圖分布的教點會環繞在某一條直線附近。

統計學上用相關係數來定量描述兩個變數之間的直線性相關的強度與方向。如果相互關聯著的兩變數，乙個增大另乙個也隨之增大，乙個減小另乙個也隨之減小，變化方向一致，就稱兩變數之間有正相關。如果相互關聯著的兩變數，乙個增大另乙個反而減小，變化方向相反，就稱叫兩變數之間有負相關。如果這種關聯十分緊密，乙個變數有了某種程度的變化，另乙個也有十分類似程度的變化，那麼就叫相關的強度大；否則，就叫相關的強度小。相關係數用r表示，r在-1和+1之間取值。相關係數r 的絕對值大小（即

一般說來,若觀測資料的個數足夠多的話,計算出來的相關係數r 就會更真實地反映客觀事物之間的本來面目。通常是，當0.7

三、由散點圖認識相關情況

上面我們以經說過直線性相關去的含義，是以平面座標散點圖來理解，我們還可以從相關散點圖的幾何分布形態來認識相關的強度與方向，如果散點圖形雜亂無章,沒有顯示出向某個方向延伸的情形,則說明相關程度很低；如果散點圖分布形成乙個邊界不規則的橢圓，則說明兩個變數存在中等程度的相關；若這裡的橢圓越扁長，則相關程度越高。倘若散點圖幾乎形成一條直線，則說明相關係數接近1或-1。至於相關的方向，則可以通過散點橢圓圖形的長軸所在直線的斜率來判斷。從左下方往右上方延伸的情形是正相關；從左上方往右下方延伸的情形是負相關。這樣，我們可以從散點圖的分布情況，初步判斷兩個變數之間的相關情況。

由於事物之間聯絡的複雜性，在實際研究中，通過統計方法確定出來的相關係數r即使是高度相關， 我們在解釋相關係數的時候，還要結合具體變數的性質特點和有關專業知識進行。兩個高度相關的變數,它們之間可能具有明顯的因果關係；也可能只具有部分因果關係；還可能沒有直接的因果關係，其數量上的相互關聯，只是它們共同受到其他第三個變數所支配的結果。除此之外，相關係數r接近零,這只是表示這兩個變數不存在明顯的直線性相關模式，但不能肯定地說這兩個變數之間就沒有規律性的聯絡。通過散點圖我們有時會發現，兩個變數之間存在明顯的某種曲線性相關，但計算直線性相關係數時，其r值往往接近零。對於這一點，讀者應該有所認識。

在統計學教科書中，除非特別說明，直線性相關一般情況下就稱相關； 直線性相關係數就稱相關係數。 相關係數的計算方法多種多樣，本章主要學習積差相關、等級相關和點雙列相關。這些相關分析方法在行為科學研究以及在教育與心理測量研究中有廣泛的應用。

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