書寫數字的常用方法是十進位制。例如：2157的千位是2，百位是1，十位是5，個位是7，這意味著可以將2157看作如下形式：
2×1000+ 1×100 + 5×10 + 7×1也就是如下形式：
2×103+1×102+ 5×101+7×100姑且認為，十進位制得以發展的原因是我們都有10根手指。在某種意義上說，計算機的位只有2根手指，原因是它只能被設為0或1。因此，以2為基數的系統適用於計算機。它用2的冪代替10的冪。以2為基數表示的數字稱為二進位制數。數字2對於二進位制數的作用和數字10對於十進位制數的作用是相同的。例如，二進位制數1101可表示為一下形式：
1×23+ 1×22 + 0×21+ 1×20以十進位制數形式表示為：
1×8+ 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13可以使用二進位制系統將任何整數表示為1和0的組合。這種系統非常適於數字計算機使用，數字計算機使用開啟和關閉狀態的組合來表示資訊，而這些狀態可以使用1和0表示。
乙個位元組通常包括8個位。我們可以將這8位從左到右看作是從7到0。在位元組中，位7稱為高位，為0稱為低位。每位數字是對應2的乙個特定的指數。可將位元組設想成如下圖的形式
這裡128是2的7次冪，依此類推。該位元組可以儲存的最大數是把所有的位都設定為1：11111111。該二進位制數的值如下：
128 + 64 +32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255最小的二進位制數是 00000000，或乙個簡單的0。乙個位元組可以儲存的範圍是0到255，總共256個可能的值。通過改變對位模式的解釋方式，乙個位元組可以儲存從-128到+127之間的整數，總共還是256個值。
有符號數的表示方法是由硬體決定，而不是c決定的。或許表示有符號數最簡單的方法就是保留1位符號位。在乙個1位元組值中，該方法為數字本身留下7位。使用這樣的符號量表示法，10000001表示-1，00000001表示1。那麼整個範圍是-127到+127。這就是原碼，原碼是人腦最容易理解和記憶的方式。
這種方法的乙個缺點是有兩個零：+0和-0。二進位制補碼避免了這種問題，這是當今使用最普遍的系統。不過在介紹補碼之前，需要先介紹二進位制反碼。
反碼的表示方法是：正數的反碼是其原碼本身，負數的反碼是在其原碼基礎上，符號位不變，其餘各位取反。因此，00000001（+1）的反碼為：00000001，10000001（-1）的反碼為：11111110。在此基礎之上，正數的補碼仍然為其原碼本身，負數的補碼再在其反碼基礎上加1。因此，10000001（-1）的補碼即為：11111111。
補碼如何解決兩個零的問題呢？以十進位制數1 - 1 = 0為例，如果用原碼表示，讓符號位也參與計算，如下：
1 – 1 = 1 +(-1) = 00000001 + 10000001 = 10000010 = -2這個結果顯然是不正確的。為了解決這個問題，我們引入了反碼：
1 – 1 = 1 +(-1) = 00000001 + 10000001 = 00000001 + 11111110 = 11111111 = 10000000 = -0發現結果的真值部分是正確的，而符合位存在問題，雖然人們理解上+0和-0是一樣的，但是0帶符號是沒有意義的。因此，補碼的出現就是解決這個問題：
1 – 1 = 1 +(-1) = 00000001 + 10000001 = 00000001 + 11111111 = 100000000結果為9位，去掉最高位，結果為00000000 = 0。這樣0用00000000表示，可以用10000000表示-128。
由於任何單位元組數的補碼和它相反數的補碼相加，結果都為100000000。因此，從這個9位組合100000000（256的二進位制形式）中減去乙個負數的位組合，結果一定是該負數值的數量。例如乙個負數的位組合為10000000。作為乙個無符號數，該組合為128。作為乙個有符號數，該組合為負，並且值為100000000 - 10000000，即10000000（128）。因此，該數為-128。與之類似，10000001是-127，11111111是-1。
要對乙個二進位制補碼數取相反數，最簡單的方法是反轉每一位，然後加1。因為1是00000001，所以-1是11111110 + 1，即11111111，和前面所看到的是一致的。
浮點數分兩部分儲存：乙個二進位制小數和乙個二進位制指數。普通的小數0.527代表：
5 ÷10+ 2 ÷100 + 7÷1000其中的分母是10的依次遞增的冪。在二進位制小數中，使用2的冪作為分母，因此二進位制小數 .101 代表：
1÷2+ 0÷4 + 1÷8 = 0.50 + 0.00 +0.125 = 0.625像1/3這樣的許多小數不能用十進位制計算法精確地表示。同樣，許多小數也不能用二進位制計數法精確地表示。實際上，二進位制計數法只能精確地表示多個1/2的冪的和。因此3/4和7/8可以精確表示為二進位制小數，但是1/3和2/5卻不能。
要在計算機中表示乙個浮點數，需要留出若干位（其位數取決於系統）存放乙個二進位制小數，其他位存放乙個指數。總之，數字的實際值是二進位制小數部分乘以2的指定次冪。比如用4乘以乙個浮點數，則指數增加了2，二進位制小數不改變。用乙個不是2的冪的數乘以乙個浮點數，則會改變二進位制小數，如果有必要也會改變指數部分。
本文參考了c primer plus, fifth editon chapter 15. bit fiddling
藍橋杯 二進位制數數（位運算）
問題描述 給定l,r。統計 l,r 區間內的所有數在二進位制下包含的 1 的個數之和。如5的二進位制為101，包含2個 1 輸入格式 第一行包含2個數l,r 輸出格式 乙個數s，表示 l,r 區間內的所有數在二進位制下包含的 1 的個數之和。樣例輸入 2 3樣例輸出 3 bit intcnt one...
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