令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式
[1]：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另類遞推式
[2]：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
遞推關係的解為：
h(n)=c(n,2n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
遞推關係的另類解為：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)
招聘筆試題
在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？
解析：此題就是catalan數的乙個典型應用，根據公式 f(n) = c(2n^n)/(n+1)。c(6^3)/4 = 5.由於人是區別的，所以還有排列組合一下3!*3!=36.
所以他們排隊的總數為： 5*36 = 180.
下面是阿里巴巴的一道筆試題
16個人按順序去買燒餅，其中8個人每人身上只有一張5塊錢，另外8個人每人身上只有一張10塊錢。燒餅5塊乙個，開始時燒餅店老闆身上沒有錢。16個顧客互相不通氣，每人只買乙個。問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現？
解析：同樣是卡特蘭數的應用。 總數為：c(16^8)/9 * 8!*8! = 1430*8!*8!
下面拓展一下catalan數的應用
卡特蘭數，是組合數學中乙個常出現在各種計數問題中出現的數列。輸入乙個整數n，計算h(n)。其遞迴式如下：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2，h(0) = h(1) = 1) 該遞推關係的解為：h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
直接根據遞迴式，可以很快的寫出相應的**。
卡特蘭數前幾項為 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
應用1：乙個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?
分析：對於每乙個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態『1』，出棧設為狀態『0』。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃瞄由n個1和n個0組成的2n位二進位制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。
在2n位二進位制數中填入n個1的方案數為c(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃瞄，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。
不符合要求的數的特徵是由左而右掃瞄時，必然在某一奇數字2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即乙個不合要求的數對應於乙個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
反過來，任何乙個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進位制數，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某乙個奇數字上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應乙個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。
由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。
應用2：括號匹配
分析：n對括號相當於有2n個符號，n個左括號、n個右括號，可以設問題的解為f(2n)。第0個符號肯定為左括號，與之匹配的右括號必須為第2i+1字元。因為如果是第2i個字元，那麼第0個字元與第2i個字元間包含奇數個字元，而奇數個字元是無法構成匹配的。
通過簡單分析，f(2n)可以轉化如下的遞推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。簡單解釋一下，f(0) * f(2n-2)表示第0個字元與第1個字元匹配，同時剩餘字元分成兩個部分，一部分為0個字元，另一部分為2n-2個字元，然後對這兩部分求解。f(2)*f(2n-4)表示第0個字元與第3個字元匹配，同時剩餘字元分成兩個部分，一部分為2個字元，另一部分為2n-4個字元。依次類推。
假設f(0) = 1，計算一下開始幾項，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。結合遞迴式，不難發現f(2n) 等於h(n)。
應用3：矩陣鏈乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？
分析：可以這樣考慮，首先通過括號化，將p分成兩個部分，然後分別對兩個部分進行括號化。比如分成(a1)×(a2×a3.....×an)，然後再對(a1)和(a2×a3.....×an)分別括號化；又如分成(a1×a2)×(a3.....×an)，然後再對(a1×a2)和(a3.....×an)括號化。
設n個矩陣的括號化方案的種數為f(n)，那麼問題的解為
f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) + f(n-1)*f(1)。f(1)*f(n-1)表示分成(a1)×(a2×a3.....×an)兩部分，然後分別括號化。計算開始幾項，f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 5。結合遞迴式，不難發現f(n)等於h(n-1)。
應用4：n個節點構成的二叉樹，共有多少種情形？
分析：可以這樣考慮，根肯定會占用乙個結點，那麼剩餘的n-1個結點可以有如下的分配方式，t(0, n-1),t(1, n-2),...t(n-1, 0)，設t(i, j)表示根的左子樹含i個結點，右子樹含j個結點。
設問題的解為f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。假設f(0) = 1，那麼f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。結合遞推式，不難發現f(n)等於h(n)。
應用5：在圓上選擇2n個點，將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？
分析：以其中乙個點為基點，編號為0，然後按順時針方向將其他點依次編號。那麼與編號為0相連點的編號一定是奇數，否則，這兩個編號間含有奇數個點，勢必會有個點被孤立，即在一條線段的兩側分別有乙個孤立點，從而導致兩線段相交。設選中的基點為a，與它連線的點為b，那麼a和b將所有點分成兩個部分，一部分位於a、b的左邊，另一部分位於a、b的右邊。然後分別對這兩部分求解即可。
設問題的解f(n)，那麼f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) + ......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。f(0)*f(n-2)表示編號0的點與編號1的點相連，此時位於它們右邊的點的個數為0，而位於它們左邊的點為2n-2。依次類推。f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。結合遞迴式，不難發現f(2n) 等於h(n)。
其他應用：
(1)n*n的方格地圖中，從乙個角到另外乙個角，不跨越對角線的路徑數.
(2)n條邊的多邊形，能被分割成三角形的方案數.
(3)圓桌周圍有 2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數
筆試題中的必勝策略
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JS筆試題中的型別轉換
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