FFT結果的物理意義

fft是離散傅利葉變換的快速演算法，可以將乙個訊號變換到頻域。有些訊號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多訊號分析採用fft變換的原因。另外，fft可以將乙個訊號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。

雖然很多人都知道fft是什麼，可以用來做什麼，怎麼去做，但是卻不知道fft之後的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做fft。

乙個模擬訊號，經過adc取樣之後，就變成了數碼訊號。取樣定理告訴我們，取樣頻率要大於訊號頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。

取樣得到的數碼訊號，就可以做fft變換了。n個取樣點，經過fft之後，就可以得到n個點的fft結果。為了方便進行fft運算，通常n取2的整數次方。

假設取樣頻率為fs，訊號頻率f，取樣點數為n。那麼fft之後結果就是乙個為n點的複數。每乙個點就對應著乙個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始訊號的幅度有什麼關係呢？假設原始訊號的峰值為a，那麼fft的結果的每個點（除了第乙個點直流分量之外）的模值就是a的n/2倍。而第乙個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的n倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的訊號的相位。第乙個點表示直流分量（即0hz），而最後乙個點 n的再下乙個點（實際上這個點是不存在的，這裡是假設的第n+1個點，可以看做是將第乙個點分做兩半分，另一半移到最後）則表示取樣頻率fs，這中間被 n-1個點平均分成n等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：。由上面的公式可以看出，fn所能分辨到頻率為 fs/n，如果取樣頻率fs為1024hz，取樣點數為1024點，則可以分辨到1hz。1024hz的取樣率取樣1024點，剛好是1秒，也就是說，取樣1秒時間的訊號並做fft，則結果可以分析到1hz，如果取樣2秒時間的訊號並做fft，則結果可以分析到0.5hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加取樣點數，也即取樣時間。頻率解析度和取樣時間是倒數關係。假設fft之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是，相位就是。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=n/2）對應的訊號的表示式為：，即。對於n=1點的訊號，是直流分量，幅度即為a1/n。由於fft結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於取樣頻率一半的結果。

好了，說了半天，看著公式也暈，下面以乙個實際的訊號來做說明。

假設我們有乙個訊號，它含有2v的直流分量，頻率為50hz、相位為-30度、幅度為3v的交流訊號，以及乙個頻率為75hz、相位為90度、幅度為1.5v的交流訊號。用數學表示式就是如下：

s=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos引數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256hz的取樣率對這個訊號進行取樣，總共取樣256點。按照我們上面的分析，fn=(n-1)*fs/n，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的訊號有3個頻率：0hz、50hz、75hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？

我們來看看fft的結果的模值如圖所示。

(原檔名:clip_image001.gif)

圖1 fft結果

從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的資料拿上來細看：

1點： 512+0i

2點： -2.6195e-14 - 1.4162e-13i

3點： -2.8586e-14 - 1.1898e-13i

50點：-6.2076e-13 - 2.1713e-12i

51點：332.55 - 192i

52點：-1.6707e-12 - 1.5241e-12i

75點：-2.2199e-13 -1.0076e-12i

76點：3.4315e-12 + 192i

77點：-3.0263e-14 +7.5609e-13i

很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的訊號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，

結果如下：

1點： 512

51點：384

76點：192

按照公式，可以計算出直流分量為：512/n=512/256=2；50hz訊號的幅度為：384/(n/2)=384/(256/2)=3；75hz訊號的幅度為192/(n/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。

然後再來計算相位資訊。直流訊號沒有相位可言，不用管它。先計算50hz訊號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75hz訊號的相位，atan2(192, 3.4315e-12)=1.5708弧度，換算成角度180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。

根據fft結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出訊號的表示式了，它就是我們開始提供的訊號。

總結：假設取樣頻率為fs，取樣點數為n，做fft之後，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：fn=(n-1)*fs/n；該點的模值除以n/2就是對應該頻率下的訊號的幅度（對於直流訊號是除以n）；該點的相位即是對應該頻率下的訊號的相位。相位的計算可用函式atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求座標為(a,b)點的角度值，範圍從-pi到pi。要精確到xhz，則需要取樣長度為1/x秒的訊號，並做fft。要提高頻率解析度，就需要增加取樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是取樣比較短時間的訊號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做fft，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。

具體的頻率細分法可參考相關文獻。

[附錄：本測試資料使用的matlab程式]

close all; %先關閉所有

adc=2; %直流分量幅度

a1=3; %頻率f1訊號的幅度

a2=1.5; %頻率f2訊號的幅度

f1=50; %訊號1頻率(hz)

f2=75; %訊號2頻率(hz)

fs=256; %取樣頻率(hz)

p1=-30; %訊號1相位(度)

p2=90; %訊號相位(度)

n=256; %取樣點數

t=[0:1/fs:n/fs]; %取樣時刻

%訊號s=adc+a1*cos(2*pi*f1*t+pi*p1/180)+a2*cos(2*pi*f2*t+pi*p2/180);

%顯示原始訊號

plot(s);

title('原始訊號');

figure;

y = fft(s,n); %做fft變換

ayy = (abs(y)); %取模

plot(ayy(1:n)); %顯示原始的fft模值結果

title('fft 模值');

figure;

ayy=ayy/(n/2); %換算成實際的幅度

ayy(1)=ayy(1)/2;

f=([1:n]-1)*fs/n; %換算成實際的頻率值

plot(f(1:n/2),ayy(1:n/2)); %顯示換算後的fft模值結果

title('幅度-頻率曲線圖');

figure;

pyy=[1:n/2];

for i="1:n/2"

pyy(i)=phase(y(i)); %計算相位

pyy(i)=pyy(i)*180/pi; %換算為角度

end;

plot(f(1:n/2),pyy(1:n/2)); %顯示相位圖

title('相位-頻率曲線圖');

轉至:取模運算 : c=(a^2+b^2)^1/2

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