數學三分講解

原文：

二分法作為分治中最常見的方法，適用於單調函式，逼近求解某點的值。但當函式是凸性函式時，二分法就無法適用，這時三分法就可以「大顯身手」～～

如圖，類似二分的定義left和right，mid = (left + right) / 2，midmid = (mid + right) / 2; 如果mid靠近極值點，則right = midmid；否則(即midmid靠近極值點)，則left = mid;

程式模版如下：

double calc(type a)

void solve(void)

}現根據幾道的oj題目來分析三分法的具體實現。

buaa 1033 easy problem

題意為在一條線段上找到一點，與給定的ｐ點距離最小。很明顯的凸性函式，用三分法來解決。

calc函式即為求某點到p點的距離。

如圖，人左右走動，求影子l的最長長度。

根據圖，很容易發現當燈，人的頭部和牆角成一條直線時(假設此時人站在a點)，此時的長度是影子全在地上的最長長度。當人再向右走時，影子開始投影到牆上，當人貼著牆，影子長度即為人的高度。所以當人從a點走到牆，函式是先遞增再遞減，為凸性函式，所以我們可以用三分法來求解。

下面只給出calc函式，其他直接套模版即可。

double calc(double x)

heru 5081 turn the corner 08年哈爾濱regional網路賽

汽車拐彎問題，給定x, y, l, d判斷是否能夠拐彎。首先當x或者y小於d，那麼一定不能。

其次我們發現隨著角度θ的增大，最大高度ｈ先增長後減小，即為凸性函式，可以用三分法來求解。

這裡的calc函式需要比較繁瑣的推倒公式：

s = l * cos(θ) + w * sin(θ) - x;

h = s * tan(θ) + w * cos(θ);

其中s為汽車最右邊的點離拐角的水平距離, h為里拐點最高的距離, θ範圍從0到90。

poj 3301 texas trip

題意為給定n(n <= 30)個點，求出飽含這些點的面積最小的正方形。

有兩種解法，一種為逼近法，就是每次m分角度，求出最符合的角度，再繼續m分，如此進行times次，即可求出較為精確的解。(m 大概取10, times取30即可)

第二種解法即為三分法，首先旋轉的角度只要在0到180度即可，超過180度跟前面的相同的。座標軸旋轉後，座標變換為：

x』 = x * cosa - y * sina;

y』 = y * cosa + x * sina;

至於這題的函式是否是凸性的，為什麼是凸性的，我也無法給出準確的證明，希望哪位路過的大牛指點一下～～

例題更新(2010.5.5)

hdu 3400 line belt

典型的三分法，先三分第一條線段，找到乙個點，然後根據這個點再三分第二條線段即可，想出三分的思路基本就可以過了。

對於求解一些實際問題，當公式難以推導出來時，二分、三分法可以較為精確地求解出一些臨界值，且效率也是令人滿意的。

數學 三分 講解