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某大公司有這麼乙個規定：只要有乙個員工過生日，當天所有員工全部放假一天。但在其餘時候，所有員工都沒有假期，必須正常上班。這個公司需要雇用多少員工，才能讓公司一年內所有員工的總工作時間期望值最大？
假設一年有 365 天，每個員工的生日都概率均等地分布在這 365 天裡。
你的第一感覺或許是，公司應該雇用 100 多人，或者 200 多人吧。答案或許會讓你大吃一驚：公司應該雇用 365 個人。注意，雇用 365 個人並不意味著全體員工全年的總工作時間為 0 ，因為 365 個人的生日都是隨機的，恰好每天都有乙個人過生日的概率極小極小。下面我們就來證明，這個問題的最優解就是 365 人。
由於期望值滿足線性關係（即對於隨機變數 x 和 y 有 e(x) + e(y) = e(x+y) ），因此我們只需要讓每一天員工總工作時間的期望值最大就可以了。假設公司裡有 n 個人，那麼在特定的一天裡，沒有人過生日的概率是 (364/365)^n 。因此，這一天的期望總工作時間就是 n · (364/365)^n 個工作日。為了考察函式 n · (364/365)^n 的增減性，我們來看一下 ((n+1) · (364/365)^(n+1)) / (n · (364/365)^n) 的值，它等於 (364 · (n+1)) / (365 · n) 。如果分子比分母小，解得 n > 364 。可見，要到 n = 365 以後，函式才是遞減的。
這個問題的答案非常出人意料，反直覺性恐怕不亞於經典的生日悖論。它應該可以看作是生日悖論番外篇了吧。對於這個答案，還有什麼更直觀，更有啟發性的解釋嗎？大家一起來想想吧。
趣題 公司應該雇用多少員工？
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