我們經常使用的數的進製為
「常數進製」，即
始終逢p進1
。例如，
p進製數
k可表示為
k = a0*p^0 + a1*p^1 + a2*p^2 + ... + an*p^n
（其中0 <= ai <= p-1
），它可以表示任何乙個自然數。
對於這種常數進製表示法，以及各種進製之間的轉換大家應該是很熟悉的了，但大家可能很少聽說
變進製數。這裡我要介紹一種特殊的變進製數，它能夠被
用來實現全排列的hash函式，
並且該hash函式能夠實現完美的防碰撞和空間利用（不會發生碰撞，且所有空間被完全使用，不多不少）。這種全排列
hash
函式也被稱為全排列數化技術。下面，我們就來看看這種變進製數。
設從第n位到第1位進製依次是pn,pn-1...p2,p1，則任何乙個數可以表示為
下面證明上式的正確性：
假設變進製數的第m位am＝pm，要進製，那麼
即正確的向高位進1。這說明該變進製數能夠正確進製，從而是一種合法的計數方式。
舉個例子：
假設從第4位到第1位進製依次是4，9，6，8，k＝1024
則可表示成k＝2*（9*6*8） + ３*（６*８）+２*８+０＝２*432+3*48+2*8＝1024
以下內容是**
我們考查這樣一種變進製數：第1位逢
2進1，第
2位逢3進
1，……，第n位逢
n+1進
1。它的表示形式為
k = a1*1
！+ a2*2
！+ a3*3
！+ ... + an*n
！（其中
0 <= ai <= i
），也可以擴充套件為如下形式（因為按定義
a0始終為
0），以與
p進製表示相對應：
k = a0*0
！+ a1*1
！+ a2*2
！+ a3*3
！+ ... + an*n
！（其中
0 <= ai <= i
）。（後面的變進製數均指這種變進製數，且採用前一種表示法）
先讓我們來考查一下該變進製數的進製是否正確。假設變進製數k的第
i位ai為
i+1，需要進製，而
ai*i
！=(i+1)*i
！=1*(i+1)
！，即正確的向高位進
1。這說明該變進製數能夠正確進製，從而是一種合法的計數方式。
接下來我們考查
n位變進製數
k的性質：（1
）當所有位
ai均為
i時，此時
k有最大值
max[k] = 1*1
！+ 2*2
！+ 3*3
！+ ... + n*n
！= 1
！+ 1*1
！+ 2*2
！+ 3*3
！+ ... + n*n
！- 1
= (1+1)*1
！+ 2*2
！+ 3*3
！+ ... + n*n
！- 1
= 2！
+ 2*2
！+ 3*3
！+ ... + n*n
！- 1
= ...
= (n+1)！-1
因此，n位k進製數的最大值為(n+1)！-1。（2
）當所有位
ai均為
0時，此時
k有最小值0。
因此，n
位變進製數能夠表示0到
(n+1)！-1
的範圍內的所有自然數，
共(n+1)！個。
在一些狀態空間搜尋演算法中，我們需要快速判斷某個狀態是否已經出現，此時常常使用
hash
函式來實現。其中，有一類特殊的狀態空間，它們是由全排列產生的，比如
n數碼問題。對於
n個元素的全排列，共產生
n！個不同的排列或狀態。下面將討論如何使用這裡的變進製數來實現乙個針對全排列的
hash
函式。從數的角度來看，全排列和變進製數都用到了階乘。如果我們能夠用0到
n！-1這
n！個連續的變進製數來表示
n個元素的所有排列，那麼就能夠把全排列完全地數化，建立起全排列和自然數之間一一對應的關係，也就實現了乙個完美的
hash
函式。那麼，我們的想法能否實現呢？答案是肯定的，下面將進行討論。
假設我們有b0，
b1，b2，
b3，...，bn共
n+1個不同的元素，並假設各元素之間有一種次序關係
b0。對它們進行全排列，共產生
(n+1)
！種不同的排列。對於產生的任一排列c0，
c1，c2，
..，cn，其中第
i個元素ci（
1 <= i <= n
）與它前面的
i個元素構成的
逆序對的個數為di（
0 <= di <= i
），那麼我們得到乙個逆序數序列d1，d2，...，dn（0 <= di <= i）。這不就是前面的
n位變進製數的各個位麼？於是，我們用
n位變進製數
m來表示該排列：
m = d1*1！ + d2*2！ + ... + dn*n！
因此，每個排列都可以按這種方式表示成乙個n位變進製數。下面，我們來考查
n位變進製數能否與
n+1個元素的全排列建立起一一對應的關係。由於n
位變進製數能表示
(n+1)
！個不同的數，而
n+1個元素的全排列剛好有
(n+1)
！個不同的排列，且每乙個排列都已經能表示成乙個
n位變進製數。如果我們能夠證明任意兩個不同的排列產生兩個不同的變進製數，那麼我們就可以得出結論：
★ 定理1——n+1個元素的全排列的每乙個排列對應著乙個不同的n位變進製數。
對於全排列的任意兩個不同的排列p0，
p1，p2，
...，
pn（排列p）和
q0，q1，
q2，...，
qn（排列
q），從後往前查詢第乙個不相同的元素，分別記為pi和
qi（0 < i <= n）。（
1）如果
qi > pi
，那麼，
如果在排列q中
qi之前的元素x與
qi構成逆序對，即有
x > qi
，則在排列p中
pi之前也有相同元素
x > pi
（因為x > qi
且qi > pi
），即在排列p中
pi之前的元素x也與
pi構成逆序對，所以
pi的逆序數大於等於
qi的逆序數。又qi與
pi在排列
p中構成
pi的逆序對，所以
pi的逆序數大於
qi的逆序數。（2
）同理，如果
pi > qi
，那麼qi
的逆序數大於
pi的逆序數。
因此，由（
1）和（
2）知，排列
p和排列
q對應的變進製數至少有第
i位不相同，
即全排列的任意兩個不同的排列具有不同的變進製數。至此，定理
1得證。
計算n個元素的乙個排列的變進製數的演算法大致如下（時間複雜度為
o(n^2)）：
int factorials[8] = ;
template size_t permutationtonumber(const t permutation， int n)
// factorials[j]儲存著j！
result += count * factorials[j];
}return result;
}
）由於n
！是乙個很大的數，因此一般只能用於較小的n。
（2）有了計算排列的變進製數的演算法，我們就可以使用乙個大小為
n！的陣列來儲存每乙個排列的狀態，使用排列的變進製數作為陣列下標，從而實現狀態的快速檢索。如果只是標記狀態是否出現，則可以用一位來標記狀態。
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