分類： acm演算法
2011-06-16 22:15
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優化遊戲
通過上一章的學習，相信大家對動態規劃已經有了乙個初步的了解，如果您將上一章的推薦習題全部掌握，那麼您可以開始這一章的學習內容了。
這一章，我們將講解一些動態規劃的設計技巧。
相信大家在做動態規劃一類題目的時候，往往不容易看出來這道題目是動態規劃。其實這並不是您的iq低，幾乎所有的初學者都會存在這樣的問題，我同樣也不例外，不過憑藉我超人的天賦，終於總結出來如何看出來某道題是不是動態規劃的終極方法：
做題做題在做題！在一年半的學習中，我深刻的體會到了：動態規劃是做出來的！這個硬道理，沒有題目數量的保證，學好動態規劃是很困難的。
但是動態規劃也並非是無章可循，下面就為大家介紹幾種常見的型別：
1．極值問題
這類問題的顯著特徵就是讓您求出最x值，並且往往具有最後子結構的性質，因為其模型變化豐富，並且和實際聯絡緊密，所以在動態規劃類問題中占有很大的重量
2．總數問題
3．一類博弈問題
4．某些雜題
一般情況下，動態規劃類的問題往往就這幾種型別，因此當大家看到以上幾種型別的時候，不妨向動態規劃的方向作些思考。
學習動態規劃的另乙個難點就是狀態的設計，可以說，只要有了狀態，那麼決策和階段也就迎刃而解了。
乙個好的狀態，首先要把問題描述清楚，其次轉移的時候應當盡量「簡單」，這裡的簡單，主要指狀態之間的「距離」，譬如a[i]=max(a[j]) j<=i就沒有a[i]=a[i-1]好。
下面讓我們看一道題目：
例：排隊買票
問題描述：一場演唱會即將舉行。現有n（o〈n〈=200〉個歌迷排隊買票，乙個人買一張，而售票處規定，乙個人每次最多只能買兩張票。假設第i位歌迷買一張票需要時間ti（1〈=i〈=n〉，隊伍中相鄰的兩位歌迷（第j個人和第j+1個人）可以由前乙個人買兩張票，也可由後一位買兩張票，則另一位就可以不用排隊了，則這兩位歌迷買兩張票的時間變為rj，現給出n，tj和rj，求使每個人都買到票的最短時間和方法。
因為可以從前乙個人買票，又可以從後乙個人買票，似乎不符合無後效性的原則，沒有辦法用動態規劃求解。
所以我們不妨採用加一維的策略：
設f（i，**）為到第i個人為止所需的最短時間.
設ti為第i個人單獨買票的時間。
設 ri為第i個人買2張票的時間。
則：狀態轉移方程分5種情況：
f（i，僅買1張）=min+ti
f（i，買2張代前一位）=min+ri
f（i，買2張代後一位）=min+ri
f（i，不買由前代）= f（i-1，買2張代後一位）
f（i，不買由後代）=min
注：本題的狀態還可以繼續優化到3種，請大家自己思考。
從上面的例子我們可以看到，當遇到題目的狀態無論如何也無法免除後效形時，可以採用加一維的方法來解決，有的時候甚至需要加兩維甚至三維。
處理動態規劃時還有幾種技巧：
1．對於一些需要計算出權函式的題目，不妨把函式的計算放置到動態規劃之外，同時還可以嘗試對一些權函式進行合併，這類處理權函式的技巧還有很多，相信大家在做題的過程中都會遇到，就不再詳細展開了
2．對於某些狀態，不妨對約束條件加以寬鬆，往往會起到出其不意的效果。
3．可以採用迴圈陣列技術，比較經典的應用就是上一章的數字三角形，因為只和上一層的狀態有關，和其他的狀態無關，所以不妨只儲存上一層的結果，每次計算出新的結果後就把上一層的結果捨棄，這樣會讓空間複雜度大大降低，是非常有用的一種優化方法。
4．採用狀態壓縮技術，這個優化的應用較為複雜，變形很多，有興趣的不妨在網上查詢相關資料
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推薦題目：
1．數字三角形（採用迴圈陣列）
2．金明的預算方案（noip2023年提高組試題）
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12．rectangular barn (usaco 6.1.2)
本章內容看似簡單實則很難，僅僅是以上幾個題目是不夠的，而且幾乎所有的動態規劃試題都可以作為本章的練習，所以大家在做完上面的題目後不妨多找一些題目練習
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