KM演算法及其具體過程

km演算法及其具體過程】

（1）可行點標：每個點有乙個標號，記lx[i]為x方點i的標號，ly[j]為y方點j的標號。如果對於圖中的任意邊(i, j, w)都有lx[i]+ly[j]>=w，則這一組點標是可行的。特別地，對於lx[i]+ly[j]=w的邊(i, j, w)，稱為可行邊；

（2）km 演算法的核心思想就是通過修改某些點的標號（但要滿足點標始終是可行的），不斷增加圖中的可行邊總數，直到圖中存在僅由可行邊組成的完全匹配為止，此時這個匹配一定是最佳的（因為由可行點標的的定義，圖中的任意乙個完全匹配，其邊權總和均不大於所有點的標號之和，而僅由可行邊組成的完全匹配的邊權總和等於所有點的標號之和，故這個匹配是最佳的）。一開始，求出每個點的初始標號：lx[i]=max（即每個x方點的初始標號為與這個x方點相關聯的權值最大的邊的權值），ly[j]=0（即每個y方點的初始標號為0）。這個初始點標顯然是可行的，並且，與任意乙個x方點關聯的邊中至少有一條可行邊；

（3）然後，從每個x方點開始dfs增廣。dfs增廣的過程與最大匹配的hungary演算法基本相同，只是要注意兩點：一是只找可行邊，二是要把搜尋過程中遍歷到的x方點全部記下來（可以用vst搞一下），以進行後面的修改；

（4）增廣的結果有兩種：若成功（找到了增廣軌），則該點增廣完成，進入下乙個點的增廣。若失敗（沒有找到增廣軌），則需要改變一些點的標號，使得圖中可行邊的數量增加。方法為：將所有在增廣軌中（就是在增廣過程中遍歷到）的x方點的標號全部減去乙個常數d，所有在增廣軌中的y方點的標號全部加上乙個常數d，則對於圖中的任意一條邊(i, j, w)（i為x方點，j為y方點）：

<1>i和j都在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變（原來是可行邊則現在仍是，原來不是則現在仍不是）；

<2>i在增廣軌中而j不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值減少了d，也就是原來這條邊不是可行邊（否則j就會被遍歷到了），而現在可能是；

<3>j在增廣軌中而i不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原來這條邊不是可行邊（若這條邊是可行邊，則在遍歷到j時會緊接著執行dfs(i)，此時i就會被遍歷到），現在仍不是；

<4>i和j都不在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變。

這樣，在進行了這一步修改操作後，圖中原來的可行邊仍可行，而原來不可行的邊現在則可能變為可行邊。那麼d的值應取多少？顯然，整個點標不能失去可行性，也就是對於上述的第<2>類邊，其lx[i]+ly[j]>=w這一性質不能被改變，故取所有第<2>類邊的 (lx[i]+ly[j]-w)的最小值作為d值即可。這樣一方面可以保證點標的可行性，另一方面，經過這一步後，圖中至少會增加一條可行邊。

（5）修改後，繼續對這個x方點dfs增廣，若還失敗則繼續修改，直到成功為止；

（6）以上就是km演算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度為o(n4)——需要找o(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改o(n)次頂標，每次修改頂標時由於要列舉邊來求d值，複雜度為o(n2)。實際上km演算法的複雜度是可以做到o(n3)的。我們給每個y頂點乙個「鬆弛量」函式slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[j]變成原值與 a[i]+b[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點：修改頂標後，要把所有不在交錯樹中的y頂點的slack值都減去d。

hdoj 2255
#include #include #define m 310
#define inf 0x3f3f3f3f
int n,nx,ny;
int link[m],lx[m],ly[m],slack[m];    //lx,ly為頂標，nx,ny分別為x點集y點集的個數
int visx[m],visy[m],w[m][m];
int dfs(int x)
}else if (slack[y] > t)  //不在相等子圖中slack 取最小的
slack[y] = t;
}return 0;
}int km()
}int res = 0;
for (i = 1;i <= ny;i ++)
if (link[i] > -1)
res += w[link[i]][i];
return res;
}int main ()
return 0;
}

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匈牙利演算法 KM演算法

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KM演算法板子

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