mod（求餘）是數論中最基本的運算之一，就是求乙個數除以另乙個數的餘數。
例如：5 mod 7 =5 ；（5除以7，商得0，餘數為2）
18 mod 7 =4；（18除以7，商得2，餘數為4）
5^2 mod 5 =0； （25除以5，商得3，餘數為0）
這是乙個目前十分常用
公鑰加密演算法，幾乎每次網購都會用到它。所謂的公鑰加密演算法是一樣十分神奇的事物，它的加密金鑰和解密金鑰並不是同乙個金鑰，加密金鑰是可以公開的。通俗點來說，
就是鎖上一把鎖的鑰匙和開啟同一把鎖的鑰匙是兩把不一樣的鑰匙
。大家都可以用加密鑰匙鎖上箱子（加密訊息），但只有掌握解密金鑰的人才能開啟箱子（解密訊息）。
上面那些求餘例子十分簡單，但遇到像98^193 mod 100 這種數就很難算了。
你可能想先將98^193求出來，再對100求餘。但是這樣有兩個問題：
1.98的193次方這是乙個非常非常大的數，在絕大多程式語言中沒有乙個內建型別能容納得下那麼大的數。
2.98的193次方對100求餘，你想想在筆算時要算多久，絕對會算到手軟。
在rsa演算法中，這種式子的數字一般很大很大，所以這就需要一定的演算法來求解這種式子。
模n的大數冪乘有兩種比較通用的演算法，網上都能搜到，但我沒找到相關的演算法證明。推導一輪後終於明白是什麼回事，所以就寫下來了。
演算法1：
1. a
2. 若b=0,則輸出結果c,結束
3. 若b為奇數，跳轉至5
4. b
5. b
下面以98^193 mod 100 為例說明這演算法如何執行：
98^193 mod 100 //a=98;b=193;c=1;n=100
= 1* 98^193 mod 100 //b=193，奇數，對應步驟5
= (1*98) * (98^192) mod 100 //b=192，偶數，對應步驟4
= 98 * ( 98^2)^96 mod 100
= 98* (98^2 mod 100 )^96 mod 100
= 98 * (4)^96 mod 100
//因為98^2 mod 100 =t*100+4 (t為某整數) 。根據二項展開式，(t*100+4)^96的展開式中除了4^96 這項外，
其餘項都包括（t*100）這個因子，含有這因子的式子=k*(t*100) , 在mod100下=0。
=98 * (16)^48 mod 100
=98 * (256 mod 100 )^24 mod 100
=98 * (56)^24 mod 100
=98 * (3136 mod 100)^12 mod 100
=98 * (36)^12 mod 100
=98 * (96)^6 mod 100
=98 * (16)^3 mod 100 //b=3，奇數，對應步驟5
=(98*16 mod 100) * (16)^2 mod 100
=68 * ( 256 mod 100)^1 mod 100
=68 * (56)^1 mod 100 //b=1
=(68 * 56 mod 100) * (56)^0 mod 100
=8 * (56)^0 mod 100 // b=0 ，返回結果c=8 ，結束
演算法2：（ r 轉換為2進製數求解，好像該演算法是高德納提出的）
1. 先將r 轉換為 2進製數序列，r=rk rk-1 rk-2...rk1 rk0。
2. c
3. for i
cif (ri=1)
then m = c*m mod n
next i
下面用9^11 mod 12 來說明：
1）先將11轉化為二進位制數序列 1011
2） 9^11 mod 12
= 9^(1011) mod 12
= 9^(1000) * 9^(0000) *
9^(0010) *
9^(0001) mod 12
3） 9^(0001) mod 12
=9；
m =1*9 mod 12 =9; //r0=1,執行m =c*m mod n
9^(0010) mod 12=(9^(0001) mod 12
)^2 =9^2 mod 12 =9;
m=9*9 mod 12 =9 //r1=1,執行m =c*m mod n
9^(0100) mod 12=(9^(0010) mod 12
)^2 =9^2 mod 12 =9;
//r2=0 ，不執行m =c*m mod n
，m的值無改變
9^(1000) mod 12=(9^(0100) mod 12
)^2 =9^2 mod 12 =9;
m=9*9 mod 12 =9 //r3=1,執行m =c*m mod n
迴圈結束，返回m=9
不知你明白我所說的沒。
歡迎交流指教。
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