最近看到有人在找關於文字比較的演算法，剛好最近休假，研究了一下，終於找到乙個簡單有效的演算法，和大家分享一下。
演算法本身很簡單，但是要說清楚思路和原理就比較複雜了，打算分兩次發表（明天就要上班拉！），分別對應文字比較演算法中的兩個主要問題：
1。如何確定最大匹配率；
2。如何確定最優的匹配路徑；
文字比較演算法剖析（1）-如何確定最大匹配率
1. 首先，我們假設有兩個串left和right,
left="abcacadf"
right="bcxcadfesbabcaca"
為了直觀的分析問題，第一步，我用乙個**來逐個的比較left和right的每個元素：
圖中，1 表示left 和 right 的某個元素是匹配的，0， 就是不匹配了， 那麼， 現在的問題就是， 如何從**中的左上角，找到一條路徑，滿足：
1. 經過的值為"1"的單元格最多；
2. 每次只能向右，或者向下，或者向右下方移動一格；
3. 如果本次位置在值為"1"的格仔上，只能向右下方移動一格；
4. 如果移動到右邊界或者下邊界外，則終止。
2 .這其實就是乙個有條件搜尋最大權重路徑的問題。但是，這裡講的是文字匹配問題，和圖論相比，要簡單很多。因為文字是流式的，兩個文字之間的所有匹配關係一定是乙個很規則的矩陣，這比圖論中研究的情況要簡單多了。
最先想到的是什麼呢？迭代和遞迴，是不是？別著急，沒有那麼複雜的，我們來分析一下，再做打算。
我們先用手工標出從每個匹配點出發，一直到邊界能夠經過的最多匹配點個數，如下圖所示：
各位可以自己手工做做，分析數量有限的圖形，還是大腦比計算機好使。
3. 我們來分析一下，基本的思路是數學歸納法，呵呵，其實是遞迴演算法的數學原型。
邊界上的單元，不用說了，一定是最多只能找到乙個匹配點。
而對於**中的任意乙個單元, 我們用 n(l,r) 來表示，對於它，按照上面的規則，它有3個鄰接區域 a, b, c.
我們用n(l,r)來表示「將left的第l個元素和right的第r個元素匹配後，能夠獲取的最大匹配點數」。這個表述有點難以理解，從前面的「找到乙個路徑...」的觀點出發，我們還可以這麼說明n(l,r)的含義：「從第l行r列的單元格出發，滿足所有4個條件的路徑上能夠經過的值為"1"的單元個數」。
因為n(l,r)的下一步一定是區域a,b,c中的乙個，而且，如果(l,r)是乙個匹配點，只能選擇進入a區域；如果進入b,c，則(l,r)一定不是乙個匹配點。因此，我們可以得到：
n(l,r) = max( v(l,r)+n(區域a), n(區域b), n(區域c) ) 。"v(l,r)表示單元(l.r)的值，=0表示單元(l,r)不是乙個匹配點，=1表示單元(l,r)是乙個匹配點"
而乙個區域的最大匹配點數，就是從該區域的入口點出發，所能得到的最大匹配點數，即：n(區域[(a,b),(c,d)]) = n(a,b). "區域[(a,b),(c,d)]的意思是：由點(a,b) 和點(c,d)所構成的矩形區域)"
那麼，前式就變成了：
n(l,r) = max( v(l.r)+n(區域a), n(區域b), n(區域c) )
= max( n(l+1,r+1)+v(l,r) , n(l,r+1), n(l+1,r))
在excel中，我們可以驗證一下，設定單元格l4的公式=max(l5,m5+b4,m4)，然後拷貝這個公式直到和前面的矩陣相匹配，我們得到的結果如下：
可以和手工分析的結果對照一下（上圖中最右部分），可以看到，結果完全一致。
yes! 現在已經接近大功告成拉！簡單吧！現在，就是如何**化的問題了。
要將上面的方法程式設計，還差乙個問題：初始化。這個很簡單，從excel的計算結果我們就可以知道。在上面的單元格公式中，邊界單元引用了空白單元，而我們知道excel對空白單元取值做算術運算時是按照0計算的，所以初始化為0就可以了。
再從上面的分析可以知道：
1. 迴圈應該是從右向左，從下向上的；
2. 每個單元格的值只需要計算一次；
3. 計算n(l,r)時，需要引用3個值
因此，程式應該做逆序迴圈，用乙個陣列快取n(l+1,r)和n(l+1,r+1)的值，用乙個臨時變數快取n(l,r+1).
假設left有m個元素；right有n個元素，那麼，這個程式的時間複雜度就是o(m.n), 空間複雜度就是max(m,n).
好了，關於如何計算left和right的最大匹配數，就結束了。很簡單，不是麼？
如果想做乙個檔案比較工具的話，還需要確定最優的匹配路徑。這個打算在下次再說，演算法也比較簡單，不過現在已經11點多了，明天要早起嘍！
《轉》文字比較演算法剖析（1） 如何確定最大匹配率
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