求遞迴演算法時間複雜度：遞迴樹
遞迴演算法時間複雜度的計算方程式乙個遞迴方程：
在引入遞迴樹之前可以考慮乙個例子：
t(n) = 2t(n/2) + n2迭代2
次可以得：
t(n) = n2
+ 2(2t(n/4) + (n/2)2)
還可以繼續迭代，將其完全展開可得：
t(n) = n2
+ 2((n/2)
2+ 2((n/22)2
+ 2((n/23)
2+ 2((n/24)
2+…+2((n/2i)
2+ 2t(n/2i + 1)))…))))
……(1) 而當
n/2i+1
== 1
時，迭代結束。 將
(1)式小括號展開，可得：
t(n) = n2
+ 2(n/2)2
+ 22(n/22)
2+ … + 2i(n/2i)2
+ 2i+1t(n/2i+1)
這恰好是乙個樹形結構，由此可引出遞迴樹法。
圖中的(a)(b)(c)(d)
分別是遞迴樹生成的第
1,2,3,n
步。每一節點中都將當前的自由項
n2留在其中，而將兩個遞迴項
t(n/2) + t(n/2)
分別攤給了他的兩個子節點，如此迴圈。
圖中所有節點之和為:
[1 + 1/2 + (1/2)2
+ (1/2)3
+ … + (1/2)i] n2
= 2n2
可知其時間複雜度為
o(n2)
可以得到遞迴樹的規則為：
(1)每層的節點為
t(n) = kt(n / m) + f(n)
中的f(n)
在當前的
n/m下的值；
(2)每個節點的分支數為k；
(3)每層的右側標出當前層中所有節點的和。
再舉個例子：
t(n) = t(n/3) + t(2n/3) + n
其遞迴樹如下圖所示：
可見每層的值都為
n，從根到葉節點的最長路徑是：
因為最後遞迴的停止是在
(2/3)kn == 1.則
於是即t(n) = o(nlogn)
總結，利用此方法解遞迴演算法複雜度：
f(n) = af(n/b) + d(n)
1.當d(n)為常數時：
2.當d(n) = cn 時：
為其他情況時可用遞迴樹進行分析。
由第二種情況知，若採用分治法對原演算法進行改進，則著重點是採用新的計算方法縮小a值。
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