遞迴演算法的時間複雜度

遞迴演算法大家應該都不陌生吧，其實最開始遇見遞迴應該是在數學課上，類似於f(x)=f(x-1)+f(x+1)，f(1)=1，f(2)=4，f(3)=3這種數學題大家應該見過不少，其實思想就是層層遞迴，最終將目標值用f(1)，f(2)，f(3)表示。

之前做個乙個需求，需要實現類似作業系統資料夾的功能，我們用mysql資料庫記錄資料，表字段有4列，分別是id，index_name，pid，is_directory，index_name記錄檔案或檔案的名字，pid記錄它的父級id，is_directory標記它是檔案還是資料夾。記錄被存下以後，就涉及到取資料的問題了，我們前端需要的目標資料結構是這樣的

[,,

,

,...]

有點類似linux系統的tree命令。

第一版**是這樣的：

tree =

def gettree(pid):

return

forindexinchildindexes:

iflen(tree) == 0:

if

)

gettree(index.id)

else:

)

else:

foritemintree:

ifitem['id'] == index.id

if'id':index.id,'name':

item['name']+index.index_name+'/'})

else:

(

)

大概看一下這個演算法的時間複雜度，第一層的遍歷時間複雜度是n，第二層遍歷的時間複雜度是n，內層的時間複雜度是o（n^2），再加上遞迴，最後的時間複雜度是o（2^n*n^2），這個演算法可見很粗糙，假如遞迴深度到是100，最後執行效率簡直會讓人頭皮發麻。接下來我們考慮一下如何優化。

第二版**：

tree =

def gettree(pid,path='./'):

return

forindexinchildindexes:

iflen(tree) == 0:

if'id':index.id,

'name':path+index.index_name+'/'})

gettree(index.id,

path+index.index_name+'/')

else:

'id':index.id,

'name':path+index.index_name})

else:

if'id':index.id,

'name':path+index.index_name+'/'})

else:

'id':index.id,

'name':path+index.index_name})

我們用變數儲存每一次的path，這次我們看看時間複雜度是多少。第一層遍歷時間複雜度是o(n)，加上遞迴，最後的時間複雜度是o(2^n*n)，不算太理想，最起碼比第一次好點。

再看看乙個面試的常見的題目，斐波拉契數列，n=1,1,3,5,8,13...，求第n位是多少？

一看首先就想到了遞迴的方式：

def fibsquence(n):

ifnin(1,2):

return

fibsquence(n-1)+ fibsquence(n-2)

這個演算法的時間複雜度是o(2^n)，關於時間複雜度具體看呼叫次數便能明白。我們考慮一下如何優化，比如求n=3是，需要先求n=2,n=1，但是最開始n=1,n=2已經求過，多了兩步重複計算。

下面是優化的**：

fibmap =

def fibsquence(n):

else:

result = fibsquence(n-1)+ fibsquence(n-2) fibmap.update()

returnresult

我們用map報存中間值，map是基於hash實現的，時間複雜度是o(1)，這樣這個演算法的時間複雜度就是o(n)。

但是事實上這個問題大可不必用遞迴方式求解

fibmap =

def fibsquence(n):

else:

foriinrange(3,n+1):

fibmap.update()

returnfibmap[n]

這樣我們只用一次遍歷，便可以求出目標值。

遞迴演算法的優化大概就是避免重複運算，將中金狀態儲存起來，以便下次使用，從結構上來看，是將時間複雜度轉換為空間複雜度來解決。遞迴演算法的效率其實是非常低的，能不用遞迴就盡量不用遞迴；當然了也要具體問題具體對待，比如說開始提到我做的專案遇到的問題，不用遞迴我還真想不出其他更好的方式解決。

宜信技術學院

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