問題描述：
正整數x的約數是能整除x的正整數。正整數x 的約數個數記為div(x)。例如，1，2，5，10 都是正整數10 的約數，且div(10)=4。設a 和b 是2 個正整數，a≤b，找出a和b之間約數個數最多的數x。
程式設計任務：
對於給定的2個正整數a≤b，程式設計計算a 和 b 之間約數個數最多的數。
資料輸入：
輸入資料由檔名為input.txt的文字檔案提供。檔案的第1 行有2 個正整數 a和 b。
結果輸出:
程式執行結束時，找到a 和b之間約數個數最多的那個數及最多約數個數。
測試資料：【只給出最多約數個數, time limit: 1s】
問題分析
本題的要求是，求出乙個給定區間內的含約數最多的整數。
首先明確一下如何求乙個數的約數個數：若乙個數n滿足：n = a1
n1 * a2
n2 * a3
n3 * …… * am
nm，則n的約數個數為(n1 + 1) (n2 + 1) (n3 + 1) …… (nm + 1)。這是可以用乘法原理證明的。
最淺顯的演算法是，列舉區間內的每個整數，統計它們的約數個數。這個演算法很容易實現，但是時間複雜度卻相當高。因為題目約定區間的最大寬度可以達到10^9的數量級，相當龐大。因此，在極限規模時，時間是無法忍受的。所以，我們需要盡量的優化時間。
分析一下列舉的過程就會發現，如果我們列舉到兩個數n和m*n（m為一相對於n較大的質數），那麼我們將重複計算n的約數兩次。據此，我們發現了列舉效率低的根本所在。為了解決這一重複，我們可以選取另一種搜尋方法——以質因子為物件進行深度搜尋。
初始時，令number := 1，然後從最小的質數2開始列舉，列舉包含乙個2、兩個2……n個2的情況……直至number * 2
n大於區間的上限（max）。對於每種「2^k的情況」，令number := number * 2
n，再列舉3的情況，然後，列舉5的情況、7的情況……方法相同。整個過程是乙個深度搜尋的過程。當number大於等於區間下限（min）時，我們就找到了乙個區間內的數，根據前面介紹的方法，可以得到它的約數個數。所有的區間內的數的約數個數的最大值就是我們要求的目標。
為什麼這種深度搜尋可以減少常規列舉過程中的重複問題呢？請看下面的乙個例子
設給定的區間為[6,30],6,18,30為區間內的數，按照常規列舉方法，計算18,30，的時候分別計算了因子6的約數個數，重複計算2次。如果使用上述所說的深度搜尋方法，求這3個數的因數個數的路徑有一條公共部分，2*3，這一部分只計算了一次，求18只需再乘個3，求30只需再乘個5，相對於常規列舉減少了兩次計算2*3的時間。但這種深度搜尋也有問題，就是number有可能是無用的，下面的分析便是對這種深搜方法進行無用資料剪枝。
值得注意的是，我們列舉過程中得到的number可能無用的，即無論用number去乘以多少，都無法得到區間內的數。這樣的number如果繼續列舉下去，無疑會大大降低效率。那麼，能否通過簡單的判斷，將其剪去呢？答案是可以的。很容易證明，如果(min – 1) div number < max div number，則區間內存在可以被number整除的數。因為，如果區間[min, max]內存在可以被number整除的數，也即是從min到max中至少有乙個數能被number整除，那麼區間[min – 1, max]內的數被number除得的商肯定不止一種，所以(min – 1) div number必然小於max div number。
反過來，如果(min-1)div number=max div number,則[min,max]內不存在可以被number整除的數。
證明如下：
假設[min,max]內存在可以被number整除的數
如果(min-1) div number=max div number,則min div number = max div number，那麼①min等於max，且min和max均可以被number整除，或者②max>min,min可以被number整除，①的情況下可推出，(min-1) div nunber②的情況下也可以推出(min-1) div number我們只需列舉符合要求的number；至於不符合的，可以剪去
。此外，我們列舉的質數可能會達到很大。因為給出的整數最大可以達到4,000,000,000，它的質因數自然最大也可以到100,000,000的數量級。如果按上面的方法列舉，顯然無法承受時間的壓力。但是，我們又可以看到，對於區間內的任一整數，它包含的大於sqrt(4,000,000,000) = 2*31623的質因數最多隻可能有乙個。因此，我們只需列舉小於2*31623的質數。如果對乙個符合要求的number（即，可以證明區間內至少存在乙個數可以被number整除），無法找到乙個小於2*31623的質數p使得number * p * x ∈ [min, max]（x為一正整數）。那麼，可知number需要乘以乙個大於31623的質數才能得到number』，使得number』 ∈ [min, max]。根據前面介紹的乘法原理，只需將number包含的約數個數乘以2，即得number』包含的約數個數。
我們還能看到，如果當前搜尋狀態為(from, number, total)，其中from是指當前列舉到的質因子（按從小到大列舉），total是指number中包含的約數個數。那麼剩下的因子數最多為q = [log
from(max / number)]，這些因子組成的約數個數（即上述求約數個數時用到的一串乘積）最大為2
q。當前所能取到的（理想情況）最大約數個數就是total * 2
q，如果這個數仍然無法超過當前最優解，則這一分支可以剪去。
深度搜尋的過程，從表面上看是乙個指數級的複雜度。其實不然，更準確的說，複雜度應為o(p
logn)。因為，它的指數增長速度是隨n成對數級增長，本質上說，還是多項式級的演算法。而且我們還進行了一些剪枝，由於列舉中的分支多數為非法的，因此通過剪枝可以去掉絕大多數的分支。這樣就大大提高了程式的效率。儘管資料規模很大，但對於極限資料仍然可以做到「一閃即出」。
根據以上分析給出以下**
#include
using namespace std;
void primes(); //用篩選法產生質數存於prim陣列中
void search(long from, long total, long num, long low, long up);
const long maxp = 100000;
long prim[maxp];
//long max, numb ,pcount; //max存放最多約數個數，numb存放約數個數最多的數
long max_num;
long numb,pcount;
int main()
else
cout << max_num << endl << numb << endl;
return 0;
}//求小於100000的素數表
void primes()
}long ii, j;
for (ii = 2, j = 0; ii <= maxp; ii++)
if (get[ii]) prim[++j] = ii;
pcount = j;
}// 區間[low,up]上，tot為當前約數最多個數，num為約數個數最多的數，
//from表示現在是第幾個質數。
void search(long from, long total, long num, long low, long up)
*///這是我修改後的**
if ( (total >=max_num&&num>=numb) )
}/**
此處**較為簡練，但包含的內容很多，較難理解.
因為所給區間[low,up]內有可能包含乙個數a，a的某個因子大於100000，超出了素數表的搜尋範圍
有可能搜尋不到a,怎麼解決這個問題？可以看出來，如果a含有大於100000的因子，則a的因數個數為當前搜尋到的因數個數乘以2
如果，乙個區間內包含了乙個和a含有除了大於100000的因子的數以外的其他因子的數b，那麼b的因數個數一定多於a.因此對於
含有a的區間，我們只考慮[a,a]這種可能，其他的區間情況，a不可能是含有因數最多的數。
此處給出的判斷條件是low==up,low>num。就包含了[a,a]這種情況，當然此處會有多餘的情況，如low=up=b,b可以分解為若干個較小的因子的乘積
但並不影響最終的結果。
*/if ((low == up) && (low > num))
search(from, total*2, num*low, 1, 1);
/*此處就是深度搜尋的** ，有乙個地方需要補充說明一下，在一條搜尋路徑上，區間邊界不斷除以乙個素數，
會越來越小，因為每次使用的都是除法取整，會有誤差。但這裡可以證明，累積誤差不會導致的除法結果的整數部分不同。
即：a/(x1*x2*..xn)=a/x1*1/x2*1/x3*..*1/xn,證明：設a=c(x1*x2*..*xn)+r(r為餘數)，則a/x1*1/x2*..1/xn=c+r/x1*1/x2*..*1/xn,整數部分仍然為c
*/for (long i = from; i <=pcount; i++)
/*此處也是剪枝處理
*/m = 1 << m;
if (total < max_num / m) return;
}//end else
}//end for}
最多約數問題
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