前幾日看窄帶訊號的music演算法，發現訊號的表示都是在複數域上的。一般來說，我們能夠測量到的訊號都是實數訊號，這就涉及到怎麼把實數訊號轉換為複數表示，以及轉換前後的訊號之間的內在關係。於是就看到了訊號的復包絡表示，希爾伯特變換等等。這其中就涉及到乙個訊號如何表示基本問題。裡面涉及到傅利葉變換的很多問題，我又認真想了下，算是又加深了對傅氏變換的幾點理解。有關於復包絡等日後有時間再寫。以下內容歡迎討論，共同進步。
訊號處理中乙個最為基本和常見的表示方法就是傅利葉變換。傅利葉變換的基本想法就是，把乙個時域訊號分解成若干個不同幅值的諧波訊號來表示。諧波訊號只有單一頻率。在連續的傅利葉變換中，諧波訊號的頻率從負無窮大到正無窮大，積分使得無限個諧波訊號的組合能夠和原始的時域訊號嚴格相等。然而離散傅氏變換中，我們只能用有限個諧波進行表述，因此只是對原始訊號的擬合。這些諧波訊號的頻率間隔相同，最高到達取樣率的一半（奈奎斯特取樣定理）。諧波訊號的個數，就是離散傅利葉變換的點數，因此，當點數越多時，對原始訊號擬合的結果越精確。傅利葉變換的結果可以看做各個諧波分量在原始訊號中的比重，對應的模越大，說明該諧波成分越高。
這些都是易於理解的。諧波訊號從低頻到高頻變化的快慢由舒緩到劇烈，因此我們觀察到時域訊號是緩慢變化時，便可斷定其中的低頻成分較高，訊號變化劇烈時，高頻占有較大比重。訊號中含有毛刺時，由於毛刺變化劇烈，於是可以認為毛刺引入了高頻分量，對訊號進行平滑後，毛刺減少，高頻分量降低。這些都能從傅利葉變換的結果中驗證。訊號不變化時，便不包含任何諧波分量，只有頻率為0的直流分量，對應的傅利葉變換係數表示該直流分量。
值得注意的問題是，訊號可以用從低頻到高頻的諧波訊號的組合表示，一般我們討論的都是正頻率，那麼傅利葉變換中的負頻率分量有什麼意義？傅利葉變換的結果表示諧波分量的大小，那麼為什麼結果是複數呢？該複數的幅值、相位各表示什麼含義？
從復平面上看可以更好地理解這些問題。從傅利葉逆變換的公式上可以看到，歸一化的諧波分量exp(jwt)在復平面上就是沿單位圓旋轉的單位向量。w為旋轉的角頻率，wt則是當前時刻的相位。所以乙個時域訊號在當前時刻的取值，就是所有類似f(w)exp(jwt)向量的和，其中f(w)便是附加在單位向量上的增益。
對於實數訊號來說，為了保證類似f(w)exp(jwt)向量的和一直為實數，那麼在任意時刻，必須有所有的向量都可以兩兩組合為一對共軛向量，才能使這兩個向量的和在實軸上。假設在復平面逆時針旋轉為正方向，那麼只要存在正方向的旋轉向量，必須存在順時針負方向的旋轉向量，以保證和為實數。因此，負頻率分量代表沿復平面順時針旋轉的諧波分量。
對於複數訊號來說，意義也是類似的。在特定時刻，時域複數取值是復平面的乙個向量，它是所有頻率旋轉向量在當前時刻的加和。顯然，只有正頻率分量是不夠的。
有剛才的分析，傅利葉變換的取值為什麼是複數便容易理解了。該複數相當於在當前時刻單位向量exp(jwt)上做了相位和幅值的調整，使得所有向量之和能夠和當前時域值相等。因此，傅利葉變換的相位可以看做是相位的補償，模可以看做是單位向量
exp(jwt)對應的頻率分量大小，因此如果忽略相位的影響，我們一般用傅利葉變換的模分析訊號。
結合上圖以及上述分析，就可以知道為何傅氏變換正負頻率對應的值幅值相等，而相位相反了。
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