時間複雜度

時間複雜度的定義

一般情況下，演算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函式，用t(n)表示，若有某個輔助函式f(n)，使得當n趨近於無窮大時，t(n)/f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是t(n)的同數量級函式。記作t(n)=o(f(n))，稱o(f(n))為演算法的漸進時間複雜度(o是數量級的符號)，簡稱時間複雜度。

根據定義，可以歸納出基本的計算步驟

1. 計算出基本操作的執行次數t(n)

基本操作即演算法中的每條語句（以;號作為分割），語句的執行次數也叫做語句的頻度。在做演算法分析時，一般預設為考慮最壞的情況。

2. 計算出t(n)的數量級

求t(n)的數量級，只要將t(n)進行如下一些操作：

忽略常量、低次冪和最高次冪的係數

令f(n)=t(n)的數量級。

3. 用大o來表示時間複雜度

當n趨近於無窮大時，如果lim(t(n)/f(n))的值為不等於0的常數，則稱f(n)是t(n)的同數量級函式。記作t(n)=o(f(n))。

常用示例

o(1)

交換i和j的內容

temp=i;

i=j;

j=temp;

以上三條單個語句的頻度為1，該程式段的執行時間是乙個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作t(n)=o(1)。如果演算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是乙個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是o(1)。

o(n2)

sum=0； /* 執行次數1 */

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

sum++； /* 執行次數n2 */

解：t(n) = 1 + n2 = o(n2)

for (i=1;io(n)

a=0;

b=1; ①

for (i=1;i<=n;i++) ②

解：語句1的頻度：2,

語句2的頻度：n,

語句3的頻度：n,

語句4的頻度：n,

語句5的頻度：n,

t(n) = 2+4n

f(n) = n

lim(t(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4

t(n) = o(n).

o(log2n)

i=1; ①

while (i<=n)

i=i*2; ②

解：語句1的頻度是1,

設語句2的頻度是t, 則：nt<=n; t<=log2n

考慮最壞情況，取最大值t=log2n,

t(n) = 1 + log2n

f(n) = log2n

lim(t(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1

t(n) = o(log2n)

o(n3)

for(i=0;i

複雜情況的分析

以上都是對於單個巢狀迴圈的情況進行分析，但實際上還可能有其他的情況，下面將例舉說明。

1.並列迴圈的複雜度分析

將各個巢狀迴圈的時間複雜度相加。

例如：for (i=1; i<=n; i++)

x++;

for (i=1; i<=n; i++)

for (j=1; j<=n; j++)

x++;

解：第乙個for迴圈

t(n) = n

f(n) = n

時間複雜度為ο(n)

第二個for迴圈

t(n) = n2

f(n) = n2

時間複雜度為ο(n2)

整個演算法的時間複雜度為ο(n+n2) = ο(n2)。

2.函式呼叫的複雜度分析

例如：public void printsum(int count)

這樣演算法的時間複雜度將由原來的o(n)降為o(1)，大大地提高了演算法的效能。

3.混合情況（多個方法呼叫與迴圈）的複雜度分析

例如：public void suixiangmethod(int n){

printsum(n);

for(int i= 0; i 忽略常數和非主要項 == o(n2)

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