演算法的時間複雜度（計算例項）

定義：如果乙個問題的規模是n，解這一問題的某一演算法所需要的時間為t(n)，它是n的某一函式 t(n)稱為這一演算法的「時間複雜性」。

當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱為演算法的「漸近時間複雜性」。

我們常用大o表示法表示時間複雜性，注意它是某乙個演算法的時間複雜性。大o表示只是說有上界，由定義如果f(n)=o(n)，那顯然成立f(n)=o(n^2)，它給你乙個上界，但並不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。

此外，乙個問題本身也有它的複雜性，如果某個演算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的演算法是最佳演算法。

「大o記法」：在這種描述中使用的基本引數是 n，即問題例項的規模，把複雜性或執行時間表達為n的函式。這裡的「o」表示量級 (order)，比如說「二分檢索是 o(logn)的」,也就是說它需要「通過logn量級的步驟去檢索乙個規模為n的陣列」記法 o ( f(n) )表示當 n增大時，執行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。

這種漸進估計對演算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，乙個低附加代價的o(n2)演算法在n較小的情況下可能比乙個高附加代價的 o(nlogn)演算法執行得更快。當然，隨著n足夠大以後，具有較慢上公升函式的演算法必然工作得更快。

o(1)

temp=i;i=j;j=temp;

以上三條單個語句的頻度均為1，該程式段的執行時間是乙個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作t(n)=o(1)。如果演算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是乙個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是o(1)。

o(n^2)

2.1. 交換i和j的內容

sum=0；（一次）

for(i=1;i<=n;i++) （n次）

for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）

sum++；（n^2次）

解：t(n)=2n^2+n+1 =o(n^2)

2.2.

for (i=1;io(n)

2.3.

a=0;

b=1; ①

for (i=1;i<=n;i++) ②

解：語句1的頻度：2,

語句2的頻度： n,

語句3的頻度： n-1,

語句4的頻度：n-1,

語句5的頻度：n-1,

t(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=o(n).

o(log2n )

2.4.

i=1; ①

while (i<=n)

i=i*2; ②

解：語句1的頻度是1,

設語句2的頻度是f(n), 則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n

取最大值f(n)= log2n,

t(n)=o(log2n )

o(n^3)

2.5.

for(i=0;i有如下複雜度關係

c < log2n < n < n * log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

其中c是乙個常量，如果乙個演算法的複雜度為c 、 log2n 、n 、 n*log2n ,那麼這個演算法時間效率比較高，如果是 2^n , 3^n ,n!，那麼稍微大一些的n就會令這個演算法不能動了，居於中間的幾個則差強人意。

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