在unix/linux的世界裡面，如果我們需要比較兩個檔案，就會用乙個比較的命令——diff。而這個diff的原理是什麼呢？
在diff裡面，我們比較的兩個檔案叫做old和new，而一般是按行來比較。這裡我們可以抽象成乙個字串的比較，比如：
old: abcdefger
new: abdefereger
那麼其中的每乙個字元都可以表示檔案裡面的一行。那麼diff裡面用到的比較思想是從old和new裡面找出最長的subsequence。
subsequence的定義是：如果原串是(a1, a2, ..., an)的話，其中ai表示串中的第i個字元，那麼(a[m1], a[m2], ..., a[mi])稱為乙個subsequence，如果m1, m2, ..., mi是[1, n]的元素，m1 < m2 < ...< mi且a[mi] 屬於ai裡面的字元。
那麼diff的任務就是找出old和new裡面的最長公共subsequence(longest common subsequence/lcs)。
for example:
old: fabc
new: ebca
那麼lcs就是bc。
那麼就可以設計乙個函式lsp，他接受兩個字串作為引數，返回他們的lsp。
string lsp(const string &s1, const string &s2);
同時，在我們對比字串的時候，我們都是從前往後的對比的，那麼我們可以得到下面的性質。
lsp(s1, s2) = 1). s1[0] + lsp(tail(s1), tail(s2)) if s1[0] == s2[0]
2). max if s1[0] != s2[0]
其中tail(str)表示str的除了第乙個字元之外的剩下的子串。
可以看出來上面的公式是乙個遞迴的suboptimal公式，這正是dynamic programming(dp)裡面的乙個思想。所以我們就可以用dp來解決上面的問題。
在這裡我用的是bottom-up[3]的dp思路，也就是從最基本的case開始構造元素，使得在後面的計算裡面可以重複的利用之前的計算。
假設我們開闢乙個2維資料，他的列標誌(column index)表示old裡面的字元，比如說old是fabc，0是空字元'/0'，1是'c'，2是'b'，3是'a'，4是'f'。字母順序是反過來的。
而行標誌(row index)表示new裡面的字元，比如說new是ebca，0是空字元'/0'，1是'a'，2是'c'，3是'b'，4是'e'。
我們定義oldchars[old.size() + 1]為old裡面的字元, newchars[new.size() + 1]為new裡面的字元，裡面的內容就和上面說的一樣。然後定義table[old.size() + 1][new.size() + 1]是存放lcs的乙個2維陣列。那麼通過上面的lsp公式，我們可以知道兩個字串的lsp是: 1) 如果首個字母是相同的話，也就是oldchars[i] == newchars[j]的時候，那麼lsp就是oldchars[i] + table[i - 1][j - 1]; 2) 如果兩個首字母是不一樣的話，也就是newchars[i] != oldchars[j]的話，那麼lsp就是max(table[i - 1][j - 1], table[i][j - 1])。其中比較的標準是字串較長的為較大的字串，如果長度相等，那麼就是按字典序排序的較大者為較大者。
從而我們可以這樣計算：
function lsp(old, new)
oldsize = old.size()
newsize = new.size()
for i -> 0 to oldsize
for j -> 0 to newsize
if (oldchars[i] == newchars[j])
else
table[i][j] = max(table[i - 1][j], table[i][j - 1])
return table[old.size()][new.size()]
注意，table[i][0]和table[0][j]都被預先賦為空串""了。
通過這樣的計算，最後的table[old.size()][new.size()]就是所求的lcs。
在得到了lsp之後，只要比較old和lsp，不同的就是被刪除了的；比較new和lsp，不同的就是新增加的。
這個dp演算法的時間複雜度是o(nm)，空間複雜度是o(nm)，不過空間複雜度可以簡化到o(n)。
下面是完整的一段**：
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