如果 10 個非負數 x1, x2, ..., x10 滿足 x1 + x2 + x3 + ... + x10 = 1 ，那麼這 10 個數都均勻地分布在 [0,1] 之間嗎？顯然不是。為了說明這一點，最好的方法或許是把分布情況變得有限——我們可以把 [0,1] 區間劃分成若干個小區間，並說明這 10 個數不可能均勻地分布在這些區間內。比方說，把 [0,1] 分成 [0, 0.25), [0.25, 0.5), [0.5, 0.75), [0.75, 1] 這四段：如果 10 個數都落在 [0, 0.25) 裡，它們的和是有可能為 1 的；但若 10 個數都落在 [0.75, 1] 裡，顯然它們的和不可能為 1 。乙個有趣的問題由此產生：考慮 10 個數的 4^10 種分布，它們的和有可能為 1 的有多少情況？
顯然， 10 個區間的右端點之和一定比 1 大。因此，只要 10 個區間的左端點之和不超過 1 ，就可以保證在這些區間中選的數之和可能為 1 。不妨把區間 [0, 0.25), [0.25, 0.5), [0.5, 0.75), [0.75, 1] 依次編號為 0, 1, 2, 3 ，由於它們的左端點分別為 0/4, 1/4, 2/4, 3/4 ，因此左端點之和不超過 1 相當於 10 個區間的編號之和不超過 4 。而和不超過 4 的 10 個非負整數，又與 4 個小球和 10 個隔板的排列順序一一對應，它們一共有 c(14, 4) = 1001 種情況。但在這 1001 種情況中， (4, 0 ,0, ..., 0), (0, 4, 0, ..., 0), ……, (0, 0, 0, ..., 4) 這 10 種情況是要排除的，因為區間編號只有 0 到 3 。因此，在 10 個數的 4^10 種區間分布中，只有 991 種分布才滿足它們的和可能為 1 。
接下來，我們自然而然地想到了這樣乙個問題：如果把 [0, 1] 劃分成不同的四段，問題的答案還是 991 嗎？好像並不是這樣。容易想到，由於偏小的數更容易出現，因此若劃分出來的區間在前面更密集一些，就會出現不止 991 種滿足要求的分布。那麼，同樣是把 [0, 1] 分成四段，滿足要求的分布最多能有多少個呢？
我們先來說明，答案最多不會多於 4^10 - 3^10 ，因為無論怎樣劃分區間，至少有 3^10 種分布是不滿足要求的。只需要注意到，如果某種分布符合要求，則所有區間的左端點之和一定比 1 小；那麼把所有 10 個區間都左移一下，原分布中的左端點之和就變成了新分布的右端點之和，由於它比 1 小，因此新的分布一定不符合要求。現在，假如 10 個數都只能落在編號為 1, 2, 3 的區間裡，那麼總的分布情況數就有 3^10 種。對於這裡面的每一種分布，要麼它自身是不合要求的，要麼所有區間左移一下後得到的新分布是不合要求的。因此，至少有 3^10 種分布不符合要求，也即最多有 4^10 - 3^10 種可行的分布。
這個上界是可以達到的。例如，四個區間分別為 [0, 0.01), [0.01, 0.02), [0.02, 0.03), [0.03, 1]，則滿足要求的分布恰有 4^10 - 3^10 = 989527 種。
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