圓排列個數
=p(n, r)/r= n!/( r*(n-r)! )例：8
人圍著餐桌吃飯，多少種就座方式？
ans: p(8, 8)/8=7!
a.無限重排列：
n個不同元素中取
r個按次序排列，每個元素可取無限次，總數為nr。
b.有限重排列：r
個不同色彩球放入
n個標號的盒子，第
i種彩球有
ri個，總數為
p(n, r) / (r1!* r2!*… rt!)
c(n, r)
n個不同的元素中取
r個元素，允許重複取，不考慮順序。總數為
c(n+r-1, r)
a.引出：
(x1+ x2+… +xk)n
的組合數學意義是將
n個無區別的球放入
k個編號不同的盒子裡，每個盒子球數不限。多項式展開後，
x1n1 *x2
n2*…* xk
nk通過冪可以表示一組解。而這個項的係數為
c(n, n1)* c(n-n1, n2)*…* c(n-n1-n2-…-nk-1, nk)=n!/ (n1!n2!…nk! )
各係數之和為kn。
b.
普通母函式
乙個序列
，稱a0+a1x+ a2x2+…+ anxn+…
這個多項式為
的普通母函式。
例
1：（天平稱物問題）有質量n1，
n2…nk
整數克的砝碼，要稱
i克物體，物體在左，砝碼在右。共有多少種不同的稱法？
解：設有
ai種方法，則
(1+xn1) (1+xn2)…(1+xnk)=∑ ai xi 1
表示(1+xnj)
中提供1
，砝碼nj
沒有用上。
ai為所求。
注：多項式展開後，還可以看出能稱出哪些重量
經驗：始終記得，乙個括號內一次僅有乙個項被取，用於提供給展開式的某一項
例
2：（重複取物）有
n種不同的物品，每種物品分別能最多取b1，
b2… bn
件。從中可重複的取
r件物品有多少種不同的取法？
解：設有
ar種不同的取法。則
(1+x+x2+…+xb1) (1+x+x2+…+xb2)… (1+x+x2+…+xbn)=a0+a1x+ a2x2+…+ arxr+…
展開式中
xr的**
xm1xm2…xmn=xr
於是成了重組合問題，答案為
c(n+r-1, r)
例
3：整數拆分：整數
r拆分成k1，
k2… km
的和，ki
允許最多重複
ni次。求拆分方案數。
解：這是求
k1b1+ k2b2+…+ kmbm=r
的不定方程的非負整數解的個數，
0<= bi
<= ni。考慮
(1+xk1+xk1*2+xk1*3+…+xk1*n1)( 1+xk2+xk2*2+xk2*3+…+xk2*n2)…( 1+xkn+xkn*2+xkn*3+…++xkm*nm)
則答案是
xr的係數
c.
指數母函式
n
個元素中，
ai重複了
ni次，求從中取
r個元素的排列數為br。
設取mi個
ai，∑mi=r
。則相互不同的排列數為
r! / ∏mi!
則對於所有的
mi的拆分方法，
br=∑( r! / ∏mi! )
例4
：若有
8個元素，其中
a1重複了3次，
a2重複了2次，
a3重複了
3次。求從中取出
4個元素的排列數。
解：先構造普通母函式
g(x)=(1+x+ x2+x3) (1+x+ x2) (1+x+ x2+x3) x4
的係數為
10，說明取
4個元素的組合數為
10。這相當於上面所說的對於
mi的拆分方法。
4 = 1+0+3 = 0+1+3 = 2+0+2 = 1+1+2 = 0+2+2 =3+0+1 = 2+1+1 = 1+2+1 = 3+1+0 = 2+2+0 代入
br=∑( r! / ∏mi! )
，得到70
種為了便於計算
br，引入函式
g(x)= (1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn1/n1!) (1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn2/n2!)… (1+x+x2/2!+x3/3!+…+xnk/nk!)=∑ (br*xr/r!)
g(x)
稱為的指數母函式。
br=∑( r! / ∏mi! )
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