12 +22 +32 +…+n2 =n(n+1)(2n+1)/6，在高中數學中是用數學歸納法證明的乙個命題，沒有給出其直接的推導過程。其實，該求和公式的直接推導並不複雜，也沒有超出初中數學內容。
設：s=12 +22 +32 +…+n2
另設：s1 =12 +22 +32 +…+n2 +(n+1)2 +(n+2)2 +(n+3)2 +…+(n+n)2 ，此步設題是解題的關鍵，一般人不會這麼去設想。有了此步設題，第一：s1 =12 +22 +32 +…+n2 +(n+1)2 +(n+2)2 +(n+3)2 +…+(n+n)2 中的12 +22 +32 +…+n2 =s，(n+1)2 +(n+2)2 +(n+3)2 +…+(n+n)2 可以展開為(n2 +2n+12 )+( n2 +2×2n+22 ) +( n2 +2×3n+32 )+…+( n2 +2×nn+n2 )=n3 +2n(1+2+3+…+n)+ 12 +22 +32 +…+n2 ，即
s1 =2s+n3 +2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)
第二：s1 =12 +22 +32 +…+n2 +(n+1)2 +(n+2)2 +(n+3)2 +…+(n+n)2 可以寫為：
s1 =12 +32 +52 …+ (2n-1)2 +22 +42 +62 …+(2n)2 ，其中：
22 +42 +62 …+(2n)2 =22 (12 +22 +32 +…+n2 )=4s……………………………………..(2)
12 +32 +52 …+(2n-1)2 =(2×1-1)2 +(2×2-1)2 +(2×3-1) 2 +…+ (2n-1) 2
= (22 ×12 -2×2×1+1) +(22 ×22 -2×2×2+1)2 +(22 ×32 -2×2×3+1)2 +…+ (22 ×n2 -2×2×n+1)2
=22 ×12 +22 ×22 +22 ×32 +…+22 ×n2 -2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n
=22 ×(12 +22 +32 +…+n2 )-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4s-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由(2)+ (3)得：s1 =8s-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由(1)與(4)得：2s+ n3 +2n(1+2+3+…+n) =8s-4(1+2+3+…+n)+n
即：6s= n3 +2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n2 +n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n2 +3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
s= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：s=12 +22 +32 +…+n2 = n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然數平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最後一位自然數。
由(5)代入(2)得自然數偶數平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n為最後一位自然數。
由(5)代入(3)得自然數奇數平方和公式為n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1為最後一位自然數。
由自然數平方和公式推導自然數立方和公式
設s=13 +23 +33 +…+n3 ……………………………………………………….(1)
有s=n3 +(n-1)3 +(n-2)3 +…+13 ……………………………………………...(2)
由(1)+ (2)得：2s=n3 +13 +(n-1)3 +23 +(n-2)3 +33 +…+n3 +13
=(n+1)(n2 -n+1)
(n+1)[(n-1)2 -2(n-1)+22 )
(n+1)[(n-2)2 -3(n-2)+32 )
(n+1)(12 -n(n-n+1)(n-n+1+ n2 )
即2s=( n+1)[2(12 +22 +32 +…+n2 )-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n (n-n+1)] ………………...(3)
由12 +22 +32 +…+n2 =n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：
2s=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12 +1+22 +2+…+(n-1)2 + (n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12 +22 +…+(n-1)2 +1 +2+…+ (n-1)] ……...(4)
由12 +22 +…+(n-1)2 = n(n+1)(2n+1)/6-n 2 ，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：
2s=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2 +n(n-1)/2
=n2 (n+1)2 /2
即s=13 +23 +33 +…+n3 = n2 (n+1)2 /4
結論：自然數的立方和公式為n2 (n+1)2 /4，其中n為自然數。
自然數偶數立方和公式推導
設s=23 +43 +63 +…+(2n)3
有s=23 (13 +23 +33 +…+n3 )=8n2 (n+1)2 /4=2n2 (n+1) 2
結論：自然數偶數的立方和公式為2n2 (n+1)2 ，其中2n為最後一位自然偶數。
自然數奇數立方和公式推導
設s=13 +23 +33 +…+(2n) 3
由自然數的立方和公式為n2 (n+1)2 /4，其中n為自然數代入左邊
有n2 (2n+1)2 =23 +43 +63 +…+(2n) 3 +13 +33 +53 …+(2n-1)3
=2n2 (n+1)2 +13 +33 +53 …+(2n-1)3
移項得：13 +33 +53 …+(2n-1)3 =n2 (2n+1)2 -2n2 (n+1)2
=n2 (2n2 -1)
結論：自然數奇數的立方和公式為n2 (2n2 -1)，其中2n-1為最後一位自然奇數，即n的取值。
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