最大權二分匹配問題就是給二分圖的每條邊乙個權值，選擇若干不相交的邊，得到的總權值最大。解決這個問題可以用km演算法。理解km演算法需要首先理解「可行頂標」的概念。可行頂標是指關於二分圖兩邊的每個點的乙個值lx[i]或ly[j]，保證對於每條邊w[i][j]都有lx[i]+ly[j]-w[i][j]>=0。如果所有滿足lx[i]+ly[j]==w[i][j]的邊組成的匯出子圖中存在乙個完美匹配，那麼這個完美匹配肯定就是原圖中的最大權匹配。理由很簡單：這個匹配的權值之和恰等於所有頂標的和，由於上面的那個不等式，另外的任何匹配方案的權值和都不會大於所有頂標的和。
但問題是，對於當前的頂標的匯出子圖並不一定存在完美匹配。這時，可以用某種方法對頂標進行調整。調整的方法是：根據最後一次不成功的尋找交錯路的dfs，取所有i被訪問到而j沒被訪問到的邊(i,j)的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值d。將交錯樹中的所有左端點的頂標減小d，右端點的頂標增加d。經過這樣的調整以後：原本在匯出子圖裡面的邊，兩邊的頂標都變了，不等式的等號仍然成立，仍然在匯出子圖裡面；原本不在匯出子圖裡面的邊，它的左端點的頂標減小了，右端點的頂標沒有變，而且由於d的定義，不等式仍然成立，所以他就可能進入了匯出子圖里。
初始時隨便指定乙個可行頂標，比如說lx[i]=max，ly[i]=0。然後對每個頂點進行類似hungary演算法的find過程，如果某次find沒有成功，則按照這次find訪問到的點對可行頂標進行上述調整。這樣就可以逐步找到完美匹配了。
值得注意的一點是，按照上述d的定義去求d的話需要o(n^2)的時間，因為d需要被求o(n^2)次，這就成了演算法的瓶頸。可以這樣優化：設slack[j]表示右邊的點j的所有不在匯出子圖的邊對應的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值，在find過程中，若某條邊不在匯出子圖中就用它對相應的slack值進行更新。然後求d只要用o(n)的時間找到slack中的最小值就可以了。
如果是求最小權匹配，只需要把那個不等式反一下就行了。演算法需要作出的改變是：lx的初值為所有臨界邊中的最小值，find中t反號。
示例程式(ural 1076)：
ural1076.cpp
june 18, 2007 · filed under 程式園
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