與頻譜有關的幾個譜的概念

頻譜、幅度譜、功率譜和能量譜

在訊號處理的學習中，有一些與譜有關的概念，如頻譜、幅度譜、功率譜和能量譜等，常常讓人很糊塗，搞不清其中的關係。這裡主要從概念上釐清其間的區別。

對乙個時域訊號進行傅利葉變換，就可以得到的訊號的頻譜，訊號的頻譜由兩部分構成：幅度譜和相位譜。這個關係倒還是簡單。那麼，什麼是功率譜呢？什麼又是能量譜呢？功率譜或能量譜與訊號的頻譜有什麼關係呢？

要區分功率譜和能量譜，首先要清楚兩種不同型別的訊號：功率訊號和能量訊號。我們從乙個具體的物理系統來引出能量訊號和功率訊號的概念。已知阻值為r的電阻上的電壓和電流分別為v(t) 和i(t)，則此電訊號的瞬時功率為：p(t) = v2(t)/r = i2(t)r。在作定性分析時，為了方便起見，通常假設電阻r為1歐姆而得到歸一化(normolized) 的功率值。作定量計算時可以通過去歸一化，即將實際的電阻值代入即可得到實際的功率值。將上面的概念做乙個抽象，對訊號x(t) 定義其瞬時功率為|f (t)|2

，在時間間隔(-t/2 t/2) 內的能量為: e=

∫|f (t)|2 dt (1)

其中積分範圍為-t/2到t/2。該間隔內的平均功率為：

p = e/t (2)

當且僅當f(t)在所有時間上的能量不為0且有限時，該訊號為能量訊號，即(1)式中的t 趨於無窮大的時候e為有限。典型的能量訊號如方波訊號、三角波訊號等。但是有些訊號不滿足能量訊號的條件，如週期訊號和能量無限的隨機訊號，此時就需要用功率來描述這類訊號。當且僅當x(t)在所有時間上的功率不為0且有限時，該訊號為功率訊號，即(2) 式中的t 趨於無窮大的時候p 為有限。系統中的波形要麼具有能量值，要麼具有功率值，因為能量有限的訊號功率為0，而功率有限的訊號能量為無窮大。一般來說，週期訊號和隨機訊號是功率訊號，而非週期的確定訊號是能量訊號。將訊號區分為能量訊號和功率訊號可以簡化對各種訊號和雜訊的數學分析。還有一類訊號其功率和能量都是無限的，如f(t) = t，這類訊號很少會用到。

了解訊號可能是能量訊號，也可能是功率訊號後，就可以很好地理解功率譜和能量譜的概念。對於能量訊號，常用能量譜來描述。所謂的能量譜，也稱為能量譜密度，是指用密度的概念表示訊號能量在各頻率點的分布情況。也即是說，對能量譜在頻域上積分就可以得到訊號的能量。能量譜是訊號幅度譜的模的平方，其量綱是焦/赫。對於功率訊號，常用功率譜來描述。所謂的功率譜，也稱為功率譜密度，是指用密度的概念表示訊號功率在各頻率點的分布情況。也就是說，對功率譜在頻域上積分就可以得到訊號的功率。從理論上來說，功率譜是訊號自相關函式的傅利葉變換。因為功率訊號不滿足傅利葉變換的條件，其頻譜通常不存在，維納-辛欽定理證明了自相關函式和傅利葉變換之間對應關係。在工程實際中，即便是功率訊號，由於持續的時間有限，可以直接對訊號進行傅利葉變換，然後對得到的幅度譜的模求平方，再除以持續時間來估計訊號的功率譜。

對確定性的訊號，特別是非週期的確定性訊號，常用能量譜來描述。而對於隨機訊號，由於持續期時間無限長，不滿足絕對可積與能量可積的條件，因此不存在傅利葉變換，所以通常用功率譜來描述。週期性的訊號，也同樣是不滿足傅利葉變換的條件，常用功率譜來描述，這些在前面已經有所說明。只有如單頻正弦訊號等很少的特殊的訊號，在引入delta函式之後，才可以求解訊號的傅利葉變換。

對於用功率譜描述的隨機訊號而言，白雜訊是乙個特例。根據定義，白雜訊是指功率譜密度在整個頻域內均勻分布的雜訊。嚴格地說，白雜訊只是一種理想化模型，因為實際雜訊的功率譜密度不可能具有無限寬的頻寬，否則它的功率將是無限大，是物理上不可實現的。然而，白雜訊在數學處理上比較方便，因此它是系統分析的有力工具。一般，只要乙個雜訊過程所具有的頻譜寬度遠遠大於它所作用系統的頻寬，並且在該頻寬中其頻譜密度基本上可以作為常數來考慮，就可以把它作為白雜訊來處理。例如，熱雜訊和散彈雜訊在很寬的頻率範圍內具有均勻的功率譜密度，通常可以認為它們是白雜訊。

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