子陣列的最大乘積
給定乙個長度為
n的整數陣列，
只允許用乘法，
不能用除法，
計算任意
（n-1
）個數的組合乘積中最大的一組，並寫出演算法的時間複雜度。
我們把所有可能的（
n-1）個數的組合找出來，分別計算它們的乘積，並比
較大小。由於總共有n個（
n-1）個數的組合，總的時間複雜度為o（
n2 ），但顯然這不是最好的解法。
分析與解法
【解法一】
在電腦科學中，時間和空間往往是一對矛盾體，不過，這裡有乙個優化的
折中方法。可以通過「空間換時間」或「時間換空間」的策略來達到優化某一方面的
效果。在這裡，是否可以通過「空間換時間」來降低時間複雜度呢？
計算（n-1）個數的組合乘積，假設第
i 個（0≤
i≤n-1）元素被排除在乘積之
外（如圖
2-13
所示）。
圖2-13
組合示意圖 設
array
為初始陣列，
s[i]
表示陣列前
i個元素的乘積
，其中1≤i
≤n，s[0] = 1
（邊界條件），那麼
s[i]= s[i-1]
×array[i-1]
，其中i = 1, 2,
…, n-1, n；設
t[i]
表示陣列後（
n-i）個元素的乘積
，其中1≤i
≤n，t[n+1]=1
（邊界條件），那麼
t[i]=t[i+1]
×array[i]
，其中i=1, 2,
…, n-1, n；
那麼設p[i]
為陣列除第
i 個元素外,其他
n-1
個元素的乘積，即有：
p[i]=s[i-1]
×t[i+1]。
由於只需要從頭至尾，和從尾至頭掃瞄陣列兩次即可得到陣列s和
t，進而線性時間可以得到
p。所以，很容易就可以得到
p的最大值（只需遍歷p
一次）。總的時間複雜度等於計算陣列s、
t、p的時間複雜度加上查詢p
最大值的時間複雜度等於o（
n）。【解法二】
其實，還可以通過分析，進一步減少解答問題的計算量。假設
n 個整數的
乘積為p
，針對p
的正負性進行如下分析（其中，
an-1
表示n-1
個數的組合，
pn-1 表示
n-1
個數的組合的乘積）：
1.p為0
那麼，陣列中至少包含有乙個
0。假設除去乙個
0之外，其他
n-1個數的乘積為q
，根據q
的正負性進行討論： q
為0 說明陣列中至少有兩個
0，那麼
n-1個數的乘積只能為
0，返回0；
q為正數 返回q
，因為如果以
0替換此時
an-1
中的任乙個數，所得到的
pn-1為0
，必然小於q；
q為負數
如果以0
替換此時
an-1
中的任乙個數，所得到的
pn-1為0
，大於q
，乘積最大值為0
。 2.p為負數
根據「負負得正」的乘法性質，自然想到從
n個整數中去掉乙個負數，使得
pn-1
為乙個正數。而要使這個正數最大，這個被去掉的負數的絕對值必須
是陣列中最小的。我們只需要掃瞄一遍陣列，把絕對值最小的負數給去掉
就可以了。
3.p為正數 類似p
為負數的情況，應該去掉乙個絕對值最小的正數值，這樣得到的
pn-1
就是最大的。
上面的解法採用了直接求
n個整數的乘積
p，進而判斷
p的正負性的辦法，
但是直接求乘積在編譯環境下往往會有溢位的危險
（這也就是本題要求不使用除
法的潛在用意
☺），事實上可做乙個小的轉變，不需要直接求乘積，而是求出數
組中正數（
+）、負數（-）和
0 的個數，從而判斷
p 的正負性，其餘部分與以
上面的解法相同。
在時間複雜度方面，由於只需要遍歷陣列一次，在遍歷陣列的同時就可得
到陣列中正數（
+）、負數（-）和
0 的個數，以及陣列中絕對值最小的正數和
負數，時間複雜度為o（
n）。
最大乘積子陣列
程式設計之美 上有一道關於在長度為n的陣列中找到n 1個元素乘積最大的題目，不過這並不是本文要討論的。本文討論的是另一種情況，給定乙個長度為n的浮點陣列，找乙個長度任意的子陣列 子陣列的元素在原陣列中是連續存放的 這個子陣列的乘積最大。通常，找乙個滿足指定條件子陣列都會使用動態規劃。遞迴縮小問題規模...
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