演算法複雜度計算 學習

2021-04-20 21:03:59 字數 3600 閱讀 3034

1.1 大o表示法

上學的時候就學習了大o表示法表示乙個演算法的效率,也大概明白怎麼回事,知道如果沒有迴圈的一段程式的複雜度是常數,一層迴圈的複雜度是o(n),兩層迴圈的複雜度是o(n^2)? (我用^2表示平方,同理 ^3表示立方)。但是一直對於嚴格的定義和用法稀里糊塗。

1.1.1 定義

設乙個程式的時間複雜度用乙個函式 t(n) 來表示,對於乙個查詢演算法,如下:

int seqsearch( int a, const int n, const int x)

這個程式是將輸入的數值順序地與陣列中地元素逐個比較,找出與之相等地元素。

在第乙個元素就找到需要比較一次,在第二個元素找到需要比較2次,…… ,在第n個元素找到需要比較n次。對於有n個元素的陣列,如果每個元素被找到的概率相等,那麼查詢成功的平均比較次數為:

f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = o(n)

這就是傳說中的大o函式的原始定義。

1.1.2 用大o來表述

要全面分析乙個演算法,需要考慮演算法在最壞和最好的情況下的時間代價,和在平均情況下的時間代價。對於最壞情況,採用大o表示法的一般提法(注意,這裡用的是「一般提法」)是:當且僅當存在正整數c和n0,使得 t(n) <= c*f(n)對於所有的n >= n0 都成立。則稱該演算法的漸進時間複雜度為t(n) = o(f(n))。這個應該是高等數學裡面的第一章極限裡面的知識。這裡f(n) = (n+1)/2, 那麼c * f(n)也就是乙個一次函式。

對於對數級,我們用大o記法記為o(log2n)就可以了。

1.1.3 加法規則

t(n,m) = t1(n) + t2(n) = o ( max (f(n), g(m) )

1.1.4 乘法規則

t(n,m) = t1(n) * t2(m) = o (f(n) * g(m))

1.1.5 乙個特例

在大o表示法裡面有乙個特例,如果t1(n) = o(c), c是乙個與n無關的任意常數,t2(n) = o ( f(n) ) 則有

t(n) = t1(n) * t2(n) = o ( c*f(n) ) = o( f(n) ).

也就是說,在大o表示法中,任何非0正常數都屬於同一數量級,記為o(1)。

1.1.6 乙個經驗規則

有如下複雜度關係

c < log2n < n < n * log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

其中c是乙個常量,如果乙個演算法的複雜度為c 、 log2n 、n 、 n*log2n ,那麼這個演算法時間效率比較高 ,如果是 2^n , 3^n ,n!,那麼稍微大一些的n就會令這個演算法不能動了,居於中間的幾個則差強人意。

定義:如果乙個問題的規模是n,解這一問題的某一演算法所需要的時間為t(n),它是n的某一函式 t(n)稱為這一演算法的「時間複雜性」。

當輸入量n逐漸加大時,時間複雜性的極限情形稱為演算法的「漸近時間複雜性」。

我們常用大o表示法表示時間複雜性,注意它是某乙個演算法的時間複雜性。大o表示只是說有上界,由定義如果f(n)=o(n),那顯然成立f(n)=o(n^2),它給你乙個上界,但並不是上確界,但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。

此外,乙個問題本身也有它的複雜性,如果某個演算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界,那就稱這樣的演算法是最佳演算法。

「大o記法」:在這種描述中使用的基本引數是 n,即問題例項的規模,把複雜性或執行時間表達為n的函式。這裡的「o」表示量級 (order),比如說「二分檢索是 o(logn)的」,也就是說它需要「通過logn量級的步驟去檢索乙個規模為n的陣列」記法 o ( f(n) )表示當 n增大時,執行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。

這種漸進估計對演算法的理論分析和大致比較是非常有價值的,但在實踐中細節也可能造成差異。例如,乙個低附加代價的o(n2)演算法在n較小的情況下可能比乙個高附加代價的 o(nlogn)演算法執行得更快。當然,隨著n足夠大以後,具有較慢上公升函式的演算法必然工作得更快。

o(1)

temp=i;i=j;j=temp;                    

以上三條單個語句的頻度均為1,該程式段的執行時間是乙個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階,記作t(n)=o(1)。如果演算法的執行時 間不隨著問題規模n的增加而增長,即使演算法中有上千條語句,其執行時間也不過是乙個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是o(1)。

o(n^2)

2.1. 交換i和j的內容

sum=0;                 (一次)

for(i=1;i<=n;i++)       (n次 )

for(j=1;j<=n;j++) (n^2次 )

sum++;       (n^2次 )

解:t(n)=2n^2+n+1 =o(n^2)

2.2.   

for (i=1;io(n)

2.3.

a=0;

b=1;                      ①

for (i=1;i<=n;i++) ②

解: 語句1的頻度:2,        

語句2的頻度: n,        

語句3的頻度: n-1,        

語句4的頻度:n-1,    

語句5的頻度:n-1,                                  

t(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=o(n).

o(log2n )

2.4.

i=1;       ①

while (i<=n)

i=i*2; ②

解: 語句1的頻度是1,  

設語句2的頻度是f(n),   則:2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    

取最大值f(n)= log2n,

t(n)=o(log2n )

o(n^3)

2.5.

for(i=0;i}解:當i=m, j=k的時候,內層迴圈的次數為k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這裡最內迴圈共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則迴圈共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間複雜度為o(n^3).

我們還應該區分演算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最 壞情況執行時間是 o(n^2),但期望時間是 o(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基準值,我們有可能把平方情況 (即o(n^2)情況)的概率減小到幾乎等於 0。在實際中,精心實現的快速排序一般都能以 (o(nlogn)時間執行。

下面是一些常用的記法:

訪問陣列中的元素是常數時間操作,或說o(1)操作。乙個演算法如 果能在每個步驟去掉一半資料元素,如二分檢索,通常它就取 o(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字元的串需要o(n)時間 。常規的矩陣乘演算法是o(n^3),因為算出每個元素都需要將n對 元素相乘並加到一起,所有元素的個數是n^2。

指數時間演算法通常**於需要求出所有可能結果。例如,n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的演算法將是o(2n)的 。指數演算法一般說來是太複雜了,除非n的值非常小,因為,在 這個問題中增加乙個元素就導致執行時間加倍。不幸的是,確實有許多問題 (如著名 的「巡迴售貨員問題」 ),到目前為止找到的演算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況, 通常應該用尋找近似最佳結果的演算法替代之。

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