計算機與數學的關係

電腦科學和數學的關係有點奇怪。二三十年以前，電腦科學基本上還是數學的乙個分支。而現在，電腦科學擁有廣泛的研究領域和眾多的研究人員，在很多方面反過來推動數學發展，從某種意義上可以說是孩子長得比媽媽還高了。

但不管怎麼樣，這個孩子身上始終流著母親的血液。這血液是the mathematical underpinning of computer science(電腦科學的數學基礎)，-- 也就是理論電腦科學。

現代電腦科學和數學的另乙個交叉是計算數學/數值分析/科學計算，傳統上不包含在理論電腦科學以內。所以本文對計算數學全部予以忽略。最常和理論電腦科學放在一起的乙個詞是什麼？答：離散數學。這兩者的關係是如此密

切，以至於它們在不少場合下成為同義詞。

傳統上，數學是以分析為中心的。數學系的同學要學習三四個學期的數學分析，然後是復變，實變，泛函等等。實變和泛函被很多人認為是現代數學的入門。在物理，化學，工程

上應用的，也以分析為主。

隨著電腦科學的出現，一些以前不太受到重視的數學分支突然重要起來。人們發現，這些分支處理的數學物件與傳統的分析有明顯的區別：分析研究的物件是連續的，因而微分

，積分成為基本的運算；而這些分支研究的物件是離散的，因而很少有機會進行此類的計算。人們從而稱這些分支為「離散數學」。「離散數學」的名字越來越響亮，最後導致以

分析為中心的傳統數學分支被相對稱為「連續數學」。

離散數學經過幾十年發展，基本上穩定下來。一般認為，離散數學包含以下學科：

1) 集合論，數理邏輯與元數學。這是整個數學的基礎，也是電腦科學的基礎。

2) 圖論，演算法圖論；組合數學，組合演算法。電腦科學，尤其是理論電腦科學的核心是演算法，而大量的演算法建立在圖和組合的基礎上。

3) 抽象代數。代數是無所不在的，本來在數學中就非常重要。在電腦科學中，人們驚訝地發現代數竟然有如此之多的應用。

但是，理論電腦科學僅僅就是在數學的上面加上「離散」的帽子這麼簡單嗎？一直到大約十幾年前，終於有一位大師告訴我們：不是。

d.e.knuth(他有多偉大，我想不用我廢話了)在stanford開設了一門全新的課程concrete mathematics。 concrete這個詞在這裡有兩層含義：

第一，針對abstract而言。knuth認為，傳統數學研究的物件過於抽象，導致對具體的問題關心不夠。他抱怨說，在研究中他需要的數學往往並不存在，所以他只能自己去創造一些數學。為了直接面向應用的需要，他要提倡「具體」的數學。

在這裡我做一點簡單的解釋。例如在集合論中，數學家關心的都是最根本的問題--公理系統的各種性質之類。而一些具體集合的性質，各種常見集合，關係，對映都是什麼樣的，數學家覺得並不重要。然而，在電腦科學中應用的，恰恰就是這些具體的東西。knuth能夠首先看到這一點，不愧為當世計算機第一人。

第二，concrete是continuous(連續)加上discrete(離散)。不管連續數學還是離散數學，都是有用的數學！

前面主要是從數學角度來看的。從計算機角度來看，理論電腦科學目前主要的研究領域包括：可計算性理論，演算法設計與複雜性分析，密碼學與資訊保安，分布式計算理論，平行計算理論，網路理論，生物資訊計算，計算幾何學，程式語言理論等等。這些領域互相交叉，而且新的課題在不斷提出，所以很難理出乙個頭緒來。

下面隨便舉一些例子。

由於應用需求的推動，密碼學現在成為研究的熱點。密碼學建立在數論(尤其是計算數論)，代數，資訊理論，概率論和隨機過程的基礎上，有時也用到圖論和組合學等。

很多人以為密碼學就是加密解密，而加密就是用乙個函式把資料打亂。這就大錯特錯了。現代密碼學至少包含以下層次的內容：

第一，密碼學的基礎。例如，分解乙個大數真的很困難嗎？能否有一般的工具證明協議正確？

第二，密碼學的基本課題。例如，比以前更好的單向函式，簽名協議等。

第三，密碼學的高階問題。例如，零知識證明的長度，秘密分享的方法。

第四，密碼學的新應用。例如，數字現金，叛徒追蹤等。

現代社會科學技術高速發展，數學學科的發展也已經到了非常抽象的地步，但是計算機所應用的數學依然是之前的經典東西，怎麼樣學好數學，通過計算機這個平台用好數學，將計算引入世界的每乙個角落，無時無可得都在運算，用於提高人類的生活質量，這將是我們計算機學科從業人員的終極目的和追求。