排列組合問題的通用演算法

儘管排列組合是生活中經常遇到的問題，可在程式設計時，不深入思考或者經驗不足都讓人無從下手。由於排列組合問題總是先取組合再排列，並且單純的排列問題相對簡單，所以本文僅對組合問題的實現進行詳細討論。以在n個數中選取m(0/// 求從陣列a[1..n]中任選m個元素的所有組合。

/// a[1..n]表示候選集，n為候選集大小，n>=m>0。

/// b[1..m]用來儲存當前組合中的元素(這裡儲存的是元素下標)，

/// 常量m表示滿足條件的乙個組合中元素的個數，m=m，這兩個引數僅用來輸出結果。

void combine( int a, int n, int m, int b, const int m )}}

因為遞迴程式均可以通過引入棧，用回溯轉化為相應的非遞迴程式，所以組合問題又可以用回溯的方法來解決。為了便於理解，我們可以把組合問題化歸為圖的路徑遍歷問題，在n個數中選取m個數的所有組合，相當於在乙個這樣的圖中（下面以從1,2,3,4中任選3個數為例說明）求從[1,1]位置出發到達[m,x](m<=x<=n)位置的所有路徑：

1 2 3 4

2 3 4

3 4

上圖是擷取n×n右上對角矩陣的前m行構成，如果把矩矩中的每個元素看作圖中的乙個節點，我們要求的所有組合就相當於從第一行的第一列元素[1,1]出發，到第三行的任意一列元素作為結束的所有路徑，規定只有相鄰行之間的節點，並且下一行的節點必須處於上一行節點右面才有路徑相連，其他情況都無路徑相通。顯然，任一路徑經過的數字序列就對應乙個符合要求的組合。

下面是非遞迴的回溯方法的實現：

/// 求從陣列a[1..n]中任選m個元素的所有組合。

/// a[1..n]表示候選集，m表示乙個組合的元素個數。

/// 返回所有排列的總數。

int combine(int a, int n, int m)

order[k]++; // 在當前位置選擇新的數字

if(order[k] == n) // 當前位置已無數字可選，回溯

if(k < m) // 更新當前位置的下一位置的數字

if(k == m)

flag = true;}

delete order;

return count;}

下面是測試以上函式的程式：

int main()

由上述分析可知，解決組合問題的通用演算法不外乎遞迴和回溯兩種。在針對具體問題的時候，因為遞迴程式在遞迴層數上的限制，對於大型組合問題而言，遞迴不是乙個好的選擇，這種情況下只能採取回溯的方法來解決。

n個數的全排列問題相對簡單，可以通過交換位置按序列舉來實現。stl提供了求某個序列下乙個排列的演算法next_permutation，其演算法原理如下：

1. 從當前序列最尾端開始往前尋找兩個相鄰元素，令前面乙個元素為*i，後乙個元素為*ii，且滿足*i<*ii；

2. 再次從當前序列末端開始向前掃瞄，找出第乙個大於*i的元素，令為*j（j可能等於ii），將i，j元素對調；

3. 將ii之後（含ii）的所有元素顛倒次序，這樣所得的排列即為當前序列的下乙個排列。

其實現**如下：

template

bool next_permutation(bidirectionaliterator first, bidirectionaliterator last)

if (i == first) // 進行至最前面了}}

下面程式演示了利用next_permutation來求取某個序列全排列的方法：

int main()

;vectoriv(ia,ia+sizeof(ia)/sizeof(int));

copy(iv.begin(),iv.end(),ostream_iterator(cout," "));

cout << endl;

while(next_permutation(iv.begin(),iv.end()))

return 0;

}注意：上面程式中初始序列是按數值的從小到大的順序排列的，如果初始序列無序的話，上面程式只能求出從當前序列開始的後續部分排列，也就是說next_permutation求出的排列是按排列從小到大的順序進行的。

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