整數的二進位制表示

目錄總結

整數的二進位制表示，需要區分正整數和負整數來看。

看正整數的二進位制表示，就要先了解一下位權。

十進位制、二進位制都有位權。以 123 為例：123 = 1 * 10^2 + 2 * 10^1 + 3 * 10^0。每個位置的位權都不一樣，十進位制從右到左，以 1 開始，依次乘 10 。也就是說第 1 位為 1 ，第 2 位為 10，第 3 位為 100。

那麼二進位制怎麼表示 123 呢？二進位制中，每個位置只能有兩個數字：0 和 1。位權的表示和十進位制中的相似，從右到左，以 1 開始，依次乘2。也就是說，第一位是 1，第二位是 2，第三位是 4。那麼十進位制123 用二進位制表示就為：

0111 1011

它的表示其實是：

0111 1011 = 0 * 2^7 + 1 * 2^6 + 1 * 2^5 + 1* 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 ^ 2^1 + 1 * 2^0

負整數的二進位制表示，是對它對應的正整數的二進位制，進行補碼運算：

求 -123 的二進位制表示： 1. 求 123 的二進位制表示：0111 1011

2. 對 1 的結果進行補碼運算（取反加1）：1000 0101，這個就是 -123

可以驗證一下 0111 1011 + 1000 0101 的結果是 0000 0000。

負整數的二進位制為什麼要用補碼表示？

因為只有這種形式，計算機才能實現正確的加減法。計算機其實只能做加法，也就說，在計算機中，1-1其實是1+(-1)。如果用原碼表示，計算結果是不對的。

符合直覺的方式表示負整數（高位變為1）：

1  -->  0000 0001
-1 --> 1000 0001
-----------
-2 --> 1000 0010

1 - 1 = -2，結果不對。

使用補碼表示後：

1  -->  0000 0001
-1 -->  1111 1111
-----------
0 --> 0000 0000

1 - 1 = 0，結果正確。

整數的運算結果為什麼出現負數

理解二進位制加減法後，就可以理解正數的運算結果為什麼會出現負數：

byte a = 127;
byte b = 1;
byte c = (byte) (a + b);
// -128
system.out.println(c);

輸出為 -128，與我們預期的 128 不一致。

運算過程如下：

0111 1111 +0000 0001 -----------

1000 0000 （byte 在記憶體中只佔 8 位，首位位 1，會被認為是負數，所以結果是 -128）

由於 byte 在記憶體中佔 8 位，首位為 1，會被認為是負數，所以輸出的結果是 -128。

整數的二進位制表示，需要區分正整數和負整數。求負整數的二進位制表示時，需要將其對應正整數的二進位制進行補碼運算。

只有進行補碼運算，才能保證二進位制加減法正確。

理解二進位制加減法後，就可以理解為什麼整數的運算結果會出現負數，計算機會將首位為 1 的二進位制數當作負數，在我們存放資料的資料結構位數不足以容納我們資料時，就可能會出現預期結果和計算結果不一致的情況。