計算方法筆記合輯

來個大雜燴

嚴格寫就太累了，這個就當是隨手的筆記得了。大概看看原理，不求甚解。

定義函式 \(f\) 的不動點 \(r\) 為滿足 \(f(r)=r\) 的所有取值

考慮函式 \(f\)，定義不動點迭代演算法如下：

任取 \(x\in d(f)\)

計算 \(x=f(x)\)

重複步驟2 \(k\) 次

記出現的所有 \(x\) 按順序構成數列 \(\left\\)，定理如下

若 \(f\) 是連續函式，且 \(\lim\limits_x_n=r\)，那麼 \(f(r)=r\)

證明：\(f(r)=f\left(\lim\limits_x_n\right)=\lim\limits_f(x_n)=\lim\limits_x_=r\)

根據定義，\(r\) 是乙個不動點

具體解釋就是，當 \(k\) 充分大的時候，我們會得到乙個充分接近 \(r\) 的近似解（極限的定義）

不動點定理說的是：如果迭代收斂，那麼收斂到不動點

收斂定理則給出了迭代收斂的乙個充分條件，也就是挑出了一類特殊的可以收斂的函式，給了乙個判別條件。

定義 \(e_n=\left|x_n-r\right|\)，若 \(\lim\limits_\frac}}=s<1\)，那麼稱這個迭代是線性收斂的，收斂率為 \(s\)

若函式 \(f\) 連續可導，並且 \(r\) 是 \(f\) 的乙個不動點，那麼由 \(|f'(r)|<1\) 可以推出 \(f\) 在以乙個足夠接近 \(r\) 的初值開始迭代時線性收斂，收斂率為 \(s\)

這句話很難理解，但是結合證明就不太難了：

考慮 \(x_=f(x_n)\)，那麼有 \(\frac}=\left|\frac\right|=\left|\frac\right|=\left|f'(\xi)\right|\)，其中 \(\xi\in(x_n,r)\)，最後乙個等號是微分中值定理

取極限就得到了乙個 \(x=r\) 處的導數，根據條件有這個極限的絕對值小於 \(1\)

又因為 \(f\) 連續可導，所以 \(f'\) 連續，所以存在鄰域 \(u=(r-\delta,r+\delta)\) 使得 \(\forall x\in(r-\delta,r+\delta)\) 都有 \(|f'(x)|<1\)

結合比值就知道，在 \(u\) 內任取乙個元素作為初值開始迭代，每次的誤差會嚴格遞減。又因為誤差單調有下界，所以收斂，並且收斂率就是 \(|f'(r)|<1\) 的

我們把這類收斂稱為區域性收斂

具體解釋就是，如果函式連續可導並且不動點處的導數比較好，那麼存在乙個區間 \(u\)，如果我們在 \(u\) 內開始迭代時，就能線性收斂到不動點，並且收斂率是不動點處的導數。

但是定理反過來不成立，意思是乙個並非區域性收斂的函式可能在別的地方收斂到此，這是完全可行的。

這個定理可以是後驗的，即先算出乙個收斂的點，然後求導驗證是否滿足定理前提。

假設給了 \(n\) 個二維平面上的點對 \(\left\\)，如何求出乙個函式恰好經過這 \(n\) 個點？

考慮這麼乙個函式 \(l_i'(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_)(x-x_)\cdots(x-x_n)\)，它有如下性質：

\(\deg l_i'(x)\leqslant n-1\)

\(l_i'(x_j)=0,i\neq j\)

\(l_i'(x_i)=(x_i-x_1)(x_i-x_2)\cdots(x_i-x_)(x_i-x_)\cdots(x_i-x_n)\)

為了方便我們可以配上乙個係數，那麼就得到 \(l_i(x)=\dfrac\)

於是就有 \(l_i(x_j)=\delta_\)，其中 \(\delta_\) 為kronecker記號。

再繼續構造 \(f(x)=\sum\limits_^n y_il_i(x)\)，根據上面的性質可知 \(\forall i\in[n],f(x_i)=y_i\)

這樣拉格朗日就得到了這麼乙個經過 \(n\) 個點的多項式，且 \(f(x)\) 是多項式，有 \(\deg f(x)\leqslant n-1\)

假設存在 \(f(x)\neq g(x)\)，構造 \(h(x)=f(x)-g(x)\)，則 \(h(x)\) 有至少 \(n\) 個零點，由代數基本定理可知 \(h(x)\equiv 0\)，矛盾。

若 \(f\in c[a,b]\)，那麼存在多項式列 \(\left\\)，使得 \(||\lim\limits_ f_n -f||^=0\)

\(||f||^\) 的含義是 \(\sup r(f)\)，即值域的上確界。

bernstein（又是他）給了乙個構造性的證明，他構造出的多項式即為大名鼎鼎的bernstein多項式

先去洗澡，咕咕咕