蒟蒻學了這個忘了那個，學了那個忘了這個，於是開篇部落格總結一下 qwq
不過等我 github 部落格弄好了就不會在這裡更新了
題目描述：\(n\) 個玩具，第 \(i\) 個玩具長度為 \(c_i\)，要求將玩具分成若干段，定義一段 \([l,r]\) 的權值 \(l\) 為 \(r-l + \sum_^rc_k\)。一段長為 \(x\) 的段的費用為 \((x-l)^2\)，其中 \(l\) 為給定的乙個常數，要求最小化分段後的費用。
考慮設計暴力 \(\texttt\) ： \(f_i\) 表示以 \(i\) 結尾，分成若干段得到的最小總費用。
設立 \(s_k\) 表示 \(\sum_^k c_i\)
\[f_i=\min_^f_j+(i-j + s_i - s_ - l)^2
\]這是暴力的平方方程，我們考慮將所有 \(c_i\) 都在一開始減去 \(1\)，那麼就可以省略掉 \(i-j\)，變為：
\[f_i=\min_^f_j+\ - (l + 1)\}^2
\]再讓 \(l + 1\)，變為：
\[f_i=\min_^f_j+( s_i - s_ - l)^2
\]好看多了，暴力拆開平方項。
\[f_i=\min_^\^2-2s_is_+l^2-2ls_i+2ls_\}
\]先去掉 \(\min\)，然後考慮兩個決策點 \(j_1,j_2\) 如果 \(j_2\) 比 \(j_1\) 更優，那麼需要滿足什麼條件。
\[f_i= f_j+ s_i^2+s_^2-2s_is_+l^2-2ls_i+2ls_
\]也就是什麼時候：
\[f_+ s_i^2+s_^2-2s_is_+l^2-2ls_i+2ls_
考慮消去同類項，剩下的只有：
\[f_+s_^2-2s_is_+2ls_
考慮進行參變數分離，讓一邊只有 \(i\) 這種定項，另一邊則是不定項，那麼得到的答案是：
\[2s_i(s_})
然後除過去：
\[2s_i
\]令 \(x(j) = s_\)， \(y(j) = f_+s_^2+2ls_\) ，寫成代數關係抽象。
那麼原式子化為 \(2s_i
這就是從代數的層面上理解的斜率優化。
還有些內容先咕咕一下。
剛剛把這東西弄懂，可能需要記錄一下。
考慮這麼乙個問題：
將乙個長為 \(n\) 非負整數序列分為 \(k\) 段，每段權值為段內元素和的平方，要求最小化權值。首先，如果沒有 \(k\) 段限制，最終整個序列一定會被劃分為 \(n\) 段，因為都為非負整數，兩個非負整數 \(a,b\) 滿足 \((a+b)^2>a^2+b^2\) 。
但是有了這個之後，我們就只會寫乙個 \(o(nk)\) 的暴力了。
然後神仙 wqs 就整理出了這麼乙個二分方法 %%%%%
考慮 \(f_\) 表示前 \(i\) 個數分成 \(j\) 段的最小權值。
然後令 \(f_i\) 表示 \(f_\)。
通過一開始的結論，你發現 \(f_i\) 一定是一段凸函式，類似下面這種。
在這個題中，這是乙個下凸函式，也就是斜率單調不增。
其中的 \(x\) 表示的是分段數量，然後 \(y\) 表示的是對應取到的值。
我們發現，如果我們現在有乙個斜率為 \(k\) 的直線，那麼拿這個直線去和這個凸包相切的話，我們會得到乙個點 \((p,f_p)\) 。
這個點就是在斜率為 \(k\) 的情況下，所有點中，縱截距最小的那個。（因為這裡是下凸包，如果是上凸包就是最大的）
也就是在所有點 \((i,f_i)\) 中，使得 \(f_i - ki\) 最小的那個點 \(p\)。
那就考慮列出這個截距的函式，你不難發現這個截距也是乙個下凸函式。
乙個下凸函式加上乙個一次函式後，仍然會是乙個下凸函式。
證明比較顯然（），考慮如果加入的一次函式斜率 \(<0\) 那麼理所應當，如果 \(>0\) ，那麼就是左小右大，這個時候函式斜率變成了負的，所以還是在變小。
那麼接下來的問題是我們如何在確定 \(k\) 的時候求出 \(p\) 和對應的 \(f_p\)。根據他的截距最小，本問題可以化歸為：
每個物品的代價減去 \(k\)，本題也就是每次選一段就將答案減去 \(k\)。
然後求出在不限段數的情況下,答案的最小值 \(g\) 以及取到最小值時的段數 \(p\) ，那麼求出 \(f_p= g+pk\) ，本題用乙個斜率優化 dp 就搞完了。
這樣為啥可以呢（），感覺很感性，就是你思考你給每段賦值了乙個額外權值，我們現在要最小化權值，當額外權值大的時候，你就會盡可能分少段，當額外權值小的時候，你就會可能會分多段。
假設取得最小值的時候為 \(m\)，如果這個時候 \(p=m\) 那就已經取到了最小值。
如果 \(p < m\) 那麼說明我們的斜率還不夠小，如果 \(p>m\) 的時候說明我們的斜率還不夠大，如果是上凸包就會改變大小關係。
但是注意乙個很坑人的地方，，，
我們其實有可能找不到這個 \(m\) ，就是如果有三點共線了。
那麼我中間的點就不會被取到了
也可以解決，可以由他左邊這個點
然後這就是 wqs 二分的全過程 qwq，感覺確實很強，不過上面的理性證明我也不是很會，不過大概能悟道是這麼個理。
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