共軛梯度法是介於最速下降法與牛頓法之間的乙個方法，它僅需利用一階導數資訊，但克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要儲存和計算hesse矩陣並求逆的缺點，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最www.cppcns.com有用的方法之一，也是解大型非線性最優化最有效的演算法之一。 在各種優化演算法中，共軛梯度法是非常重要的一種。其優點是所需儲存量小，具有步收斂性，穩定性高，而且不需要任何外來引數。
演算法步驟：
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
'''線性搜尋子函式
數f，導數df，當前迭代點x和當前搜尋方向d，t1，
'''flag = 0
a = 0
b = alpham
fk = f(x)
gk = df(x)
phi0 = fk
dphi0 = np.dot(gk, d)
alpha=b*random.uniform(0,1)
while(flag==0):
newfk = f(x + alpha * d)
phi = newfk
# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)
if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):
if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):
flag = 1
else:
a = alpha
b = b
if (b < alpham):
alpha = (a + b) / 2
else:
alpha = t * alpha
else:
a = a
b = alpha
alpha = (a + b) / 2
return alpha
def wolfesearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
'''線性搜尋子函式
數f，導數df，當前迭代點x和當前搜尋方向d
∈(,1)=0.75
'''sigma=0.75
flag = 0
a = 0
b = alpham
fk = f(x)
gk = df(x)
phi0 = fk
dphi0 = np.dot(gk, d)
alpha=b*random.uniform(0,1)
while(flag==0):
newfk = f(x + alpha * d)
phi = newfk
# print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)
if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):
# if abs(np.dot(df(x + alpha * d),d))<=-sigma*dphi0:
if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):
flag = 1
else:
a = alpha
b = b
if (b < alpham):
alpha = (a + b) / 2
else:
alpha = t * alpha
else:
a = a
b = alpha
alpha = (a + b) / 2
return alpha
def frcg(fun,gfun,x0):
# x0是初始點，fun和gfun分別是目標函式和梯度
# x,val分別是近似最優點和最優值，k是迭代次數
# dk是搜尋方向，gk是梯度方向
# epsilon是預設精度，np.linalg.norm(gk)求取向量的二範數
maxk = 5000
rho = 0.6
sigma = 0.4
k = 0
epsilon = 1e-5
n = np.shape(x0)[0]
itern = 0
w = np.zeros((2, 20000))
f = open("共軛.txt", 'w')
while k < maxk:
w[:, k] = x0
gk = gfun(x0)
itern += 1
itern %= n
if itern == 1:
dk = -gk
else:
beta = 1.0 * np.dot(gk, gk) / np.dot(g0, g0)
dk = -gk + beta * d0
gd = np.dot(gk, dk)
if gd >= 0.0:
dk = -gk
if np.linalg.norm(gk) < epsilon:
break
alpha=goldsteinsearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)
# alpha=wolfesearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)
x0+=alpha*dk
f.write(str(k)+' '+str(np.linalg.norm(gk))+"\n")
print(k,alpha)
g0 = gk
d0 = dk
k += 1
w = w[:, 0:k+1] # 記錄迭代點
return [x0, fun(x0), k,w]
def fun(x):
return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2
def gfun(x):
return np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0] ** 2) - 2 * (1 - x[0]), 200 * (x[1] - x[0] 程式設計客棧** 2)])
if __name__=="__main__":
x1 = np.arange(-1.5, 1.5 + 0.05, 0.05)
x2 = np.arange(-3.5, 4 + 0.05, 0.05)
[x1, x2] = np.meshgrid(x1, x2)
f = 100 * (x2 - x1 ** 2) ** 2 + (1 - x1) ** 2 # 給定的函式
plt.contour(x1, x2, f, 20) # 畫出函式的20條輪廓線
x0 = np.array([-1.2, 1])
x=frcg(fun,gfun,x0)
print(x[0],x[2])
# [1.00318532 1.00639618]
w=x[3]
# print(w[:, :])
plt.plot(w[0, :], w[1, :], 'g*-') # 畫出迭代點收斂的軌跡
plt.show()
**中求最優步長用得是goldsteinsearch方法，另外的wolfesearch是試驗的部分，在本段程式中不起作用。
迭代軌跡：
三種最優化方法的迭代次數對比：
最優化方法
最速下降法
共軛梯度法
牛頓法程式設計客棧
迭代次數
www.cppcns.com
程式設計客棧
本文標題: python實現共軛梯度法
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python實現共軛梯度法
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