形式化的:
\[g(x,y) = \sum_\sum_(\frac)x^iy^j\\
=\sum_(x+xy)^i\\
=\frac\\
\]則稱\(g(x,y)\)為二元組\((x,y)\)在組合數意義下的乙個二元生成函式
具體用途----處理一些比較詭異的組合數上的連續求和
一般是通過將\(y\)帶換成\(x^k\),\(x\)也相應變形的方法來處理
\[g(x , x^k) = \sum_\sum_(\frac)x^\\
[x^n] = \sum_(\frac)
\]具體參見例題:
\[\sum_^m(\frac)\\
可以寫成求和式:\\
\sum_(\frac)\\
即g(x , x^0 = 1) = \frac\\
根據二項式定理有[x^n] = 2^n\\
\]\[\sum_^m(\frac)\\
可以寫成求和式:\\
\sum_\\
x = i + m , y = 2 * i \\
即x - y/2 = m
\]則令\(y = x^}\)
\[g(x^1 , x^}) = \frac\\
[x^n] = \frac,[z^] = \frac = f_
\]即第\((2n + 1)\)個斐波拉契數
\[s_1(x,y) = \sum_\sum_[\frac]\frac\\
乙個環的egf為f = \sum_\frac = -ln(1-x)\\
引入變數y記錄成環次數,則有:g = exp(yf) = exp(ln(\frac)^y) = (1-x)^\\
即有s_1(x,y) = (1-x)^\\
則有一行的ofg如下\\
=n!\sum_(\frac)(-1)^x^k =n!\sum_(\frac)x^k\\
=[x^n]n!(\frac) = y^}
\]一列的egf：
\[\frac,可以較簡單得到
\]第二類斯特林數
\[s_2(x,y) = \sum_\sum_\\}\frac = exp(y(e^x-1))\\
= \sum_\frac = \sum_\frac\sum_e^(-1)^k(\frac)\\
隨便化一下大概就是\\
[x^n] = \sum_\frac\sum_^i(\frac)k^n(-1)^
\]
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