並查集高階

n 個孤立點，m 次加邊操作，設 $l(i,j)$ 表示結點 i 和 j 最早在第 $l(i,j)$ 次操作後連通。在 m 次操作後，求出 $\sum_^n\sum_^n l(i,j)$ 的值。

解法：

$\quad$並查集的時候記錄子樹大小即可。

n 個孤立點， m 次加邊操作，q 次詢問，每一次問 u 和 v 最早在第幾次操作後連通。

解法：

$\quad$考慮在並查集合並的時候記錄$\lceil$並查集生成樹$\rfloor$，也就是如果第 i 此操作 u 和 v 在兩個不同的子樹，那麼把 (u,v) 這條邊納入生成樹。邊權是 i ，那麼查詢就是詢問 u 到 v 路徑的邊權最大值，可以用倍增或樹剖。複雜度為 $o(nlogn)$。事實上這個思想和 kruskal 重構樹的思想很像。

n 個孤立點，m 次加邊操作，q 次詢問，每次詢問第 x 個點在第 t 個操作後所在連通塊的大小

解法：

乙個長度為 n 的 01 序列 $a_1,...,a_n$，一開始全是 0 ，接下來進行 m 次操作：

解法：

$\quad$建立乙個並查集 $f_i$ 表示 $a_i,...,a_n$ 左數第乙個為 0 的位置。初始時 $f_i=i$，對於 $a_x=1$ 的操作，如果本身是 1 就不管，否則 $f_i=f_$。時間複雜度：$ o(nlogn)$

給出三個長度為 n 的正整數序列 a,b,c。列舉 $1\leq i\leq j\leq n$ ，求$a_i\times b_j\times min_ \space c_k$ 的最大值。

解法：

$\quad$按權值從大到小考慮$c_k$。相當於重新構造乙個空的序列，在位置 k 上加入乙個點，然後將 k-1 和 k+1 位置上的點（如果有點的話）所在的連通塊與之合併。連通塊記錄 a 的最大值和 b 的最大值，在合併的時候記錄答案即可。

給出一顆 n 個點的樹，接下有 m 次操作

解法：

$\quad$對於每乙個加邊操作，我們可以認為是 a 到 b 在樹上的路徑被覆蓋一次。詢問就可以轉換為 u 到 v 在樹上的路徑中是否存在沒有被覆蓋過的邊，如果不存在說明 u 到 v 之間有至少兩條邊不相交的路徑。

$\quad$可以考慮用並查集維護。給定樹根，設 $f_i$ 表示 $i$ 到根的路徑中第乙個未被覆蓋的邊.每次操作就個暴力跳並查集，覆蓋一條邊後，就將自己和那條邊的父節點合併即可。這樣每一條邊最多被覆蓋 n 次。總複雜度為 $o(nlogn)$

$\quad$總的複雜度：$o(nlogn +m logn)$

$\quad$並查集的按軼合併優化正是啟發式合併的思想，而且並查集生成樹和 kruskal 重構樹也有很多共通點。靈活應用並查集可以很好的解決圖的連通性問題。

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