哈密頓迴路

\(\quad\)設無向圖 \(g=(v,e)\) ，其中 \(v\) 是點集，\(e\) 是邊集，\(n=|v|\) 表示圖中點的數量，\(m=|e|\) 表示圖中邊的數量。

hamilton 通路

\(\quad\)經過圖 g 中每個節點一次且僅一次的通路稱為 \(hamilton\) 通路

hamilton 迴路

\(\quad\)經過圖 g 中每個節點一次且僅一次的通路稱為 \(hamilton\) 迴路

\(\quad\)特點：包含圖 g 中所有頂點，迴路中，除了起點和終點相同外，回路上各點不重複。

hamilton 圖

\(\quad\)存在 \(hamilton\) 迴路的圖稱為 \(hamilton\) 圖

hamilton 通路問題轉化為 hamilton 迴路問題

\(\quad\)乙個可行的做法是列舉通路的起點和終點，新增一條邊，轉化為對應的 \(hamilton\) 迴路問題

\(\quad\)目前這類問題其實並沒有完美的解決（尤拉迴路已經完美的解決了），也就是還無法判斷圖中是否存在 \(hamilton\) 通路、迴路。我們只能對節點較少的圖憑經驗去判定，下面給出一些必要條件和充分條件以及相應的簡單證明。

\(\quad\)定理 1：設無向圖 \(g=(v,e)\) 是 \(hamilton\) 圖，v1 是 v 的任意非空子集，則 \(p(g-v1)\leq|v1|\) （ \(p(g-v1)\) 指的是從 g 中刪去 v1 後得到的圖的聯通分支的數量）

\(\quad\)推論 1.1 ：設無向圖 \(g=(v,e)\) 存在 \(hamilton\) 通路，則對 v 的任意非空子集 v1 ，都有 \(p(g-v1)\leq|v1|+1\)

\(\quad\)上述定理/推論對於判斷是否存通路/迴路很有用

\(\quad\)定理 2：設 \(g=(v,e)\) 是具有 \(n\) 個節點的簡單無向圖，如果對於任意兩個不相鄰的節點均有 \(deg(u)+deg(v)\geq n-1\)，則一定存在 \(hamilton\) 通路

\(\quad\)推論 2.1 ：設 \(g=(v,e)\) 是具有 \(n\) 個節點的簡單無向圖，如果對於任意兩個不相鄰的節點均有 \(deg(u)+deg(v)\geq n\)，則一定存在 \(hamilton\) 迴路

\(\quad\)推論 2.2 ：設 \(g=(v,e)\) 是具有 \(n\) 個節點的簡單無向圖，\(n\geq 3\)，如果對於任意節點均有 \(deg(v)\geq n/2\)，則存在 \(hamilton\) 迴路

競賽圖

\(\quad\)任意兩個點之間都恰好有一條邊的有向圖

推論1

\(\quad n(n\geq2)\) 階 (n 個頂點) 競賽圖一定存在哈密頓通路

\(\quad\)證明：考慮數學歸納法，對於第 k+1 個節點，考慮和第 k 個節點之間的邊的方向，如果方向是 \(k\to k+1\) 答案顯然，反之列舉 \(k-1,k-2,\cdots,1\) 和這個節點的方向，然後隨便構造一下就可以了。

推論2

\(\quad\)強連通競賽圖一定存在哈密頓迴路。（兩個條件在一定條件下可以互推）（證明類似於上面的過程）

推論3

\(\quad\)

\(n\) 個點的競賽圖中哈密頓迴路的總數是 \((n-1)!2^-n}\) 條

\(\quad\)證明：考慮列舉哈密頓迴路的環，剩下的隨便取方向。

推論 4

\(\quad\)競賽圖縮點後呈現的是鏈狀，比如：