排序演算法之快速排序

1）基本思想

快速排序的基本思想是在陣列中選擇乙個樞紐元素，然後分別從陣列的開始和結束位置處開始遍歷陣列，將比樞紐元素小的都移到樞紐元素的左邊，將比樞紐元素大的元素都移到它的右邊，然後遞迴對樞紐元素前面的元素和後面的元素進行排序。即：

這裡的乙個關鍵地方是如何選取樞紐元，有三種選擇：

a. 選取陣列的第乙個元素這種策略就是比較懶惰的將得到的陣列的第乙個元素作為樞紐元，如果陣列元素是隨機排列的，這是可行的。但如果陣列是預排序或反序的，那麼這將造成陣列幾乎所有的元素都落在s1或者s2中，這樣一來，最終的時間複雜度將達到o(n^2)。

b. 利用隨機數生成器產生隨機樞紐元一般來講除非運氣比較差會導致隨機產生的樞紐元導致a中的結果，否則還是比較安全的。但是隨機數生成器的使用成本還是很高的，它會抵消節省下來的平均執行時間。

c. 三數中值法這種方式分別取出陣列元素的第乙個元素，中間的元素和最後乙個元素進行排序並將中值作為樞紐元，最終的結果是三者中最小的元素放在了陣列的起始位置，最大的元素放到了陣列的最後的位置，三者中的中值放在了中間位置上。

這裡選擇c中的方法來選取樞紐元，並將樞紐元移至陣列的倒數第二個位置，從陣列的第二個位置和陣列的倒數第三個位置開始遍歷陣列，設為位置i和j，當i處的元素大於等於樞紐元時停止，當j位置的元素小於等於樞紐元時停止，如果i < j, 交換兩位置處的元素，然後i和j繼續相向遍歷，直到兩個位置指向同一位置或交錯時，此時，交換i處的元素和樞紐元。這樣的結果就是樞紐元前面的元素都比它小或者等於它，樞紐元後面的元素都比它大或者相等。

採用c中方案的乙個好處就是i和j不會有越界風險，因為陣列的第乙個元素比樞紐元小，所以j不會越界，又因為倒數第二個位置是樞紐元，i停在大於等於樞紐元的位置，所以i也不會越界。

需要注意的地方是，在遍歷到等於樞紐元的位置時，不管i或者j這裡都採用停止而非繼續向前的策略，這裡簡單的做乙個反例：對於乙個全部相同的陣列來說，如果i和j在a[i] = a[j]時不交換繼續向前，那麼必須有乙個方法防止i或者j越界，並且最終樞紐元還是被交換到i最後到過的位置，即倒數第二個位置，最終導致兩個極不均衡的陣列，時間複雜度為o(n^2)。而如果在相等處採取交換的策略，那麼最終得到的是幾乎均等的陣列，排序的複雜度為o(nlogn)，i和j會交錯，所以不用擔心越界風險。

2）演算法實現

1 #include "
stdafx.h
"2 #include 3
using
namespace
std;45
const
int cutoff = 3;6
7void swap(int* a, int*b)813
14int media3(int a, int left, int
right)
1521
if(a[left] >a[right])
2225
if(a[center] >a[right])
2629     swap(&a[center], &a[right-1
]);30
31return a[right-1
];32}33
34void insertsort(int a, int left, int
right)
3546
else
47break;48
}49         a[j] =temp;50}
51}5253
void qsort(int a, int left, int
right)
5463
while(a[--j] >pivot) 
64if(i 
6568
else
6972
}73         swap(&a[i], &a[right-1
]);74         qsort(a, left, i - 1
);75         qsort(a, i + 1
, right);76}
77else
7881}82
83void print(int a, int
n)84
89     cout<
9192
void quicksort(int a, int
n)93
9798
int _tmain(int argc, _tchar*ar**)99;
101     print(a, 10
);102     quicksort(a, 10
);103
104     system("
pause");
105106
return0;
107 }

view code

3）時間複雜度分析

對於n=5~20，採取插入排序更快，因為不需要遞迴的成本。

最壞情況下，樞紐元是最小元素，那麼：

t(n) = t(n-1) + cn

t(n-1) = t(n-2) + c(n-1)

t(2) = t(1) + c*1

=>　　t(n) = t(1) + c(1+2+...+n) = o(n^2)

最好情況下，樞紐元剛好是陣列的中值，那麼陣列剛好被分為兩個均等的陣列：

t(n) = 2t(n/2) + c*n

t(n)/n = t(n/2)/n/2 + c

t(2)/2 = t(1)/1 + c

t(n)/n = t(1)/1 + c*logn

所以，t(n) = n + c*n*logn = o(nlogn).

平均情況下，假設元素大小是等可能的，那麼t(i) = (1/n)(t(1) + t(2) + ... + t(n-1))，那麼：

t(n) = t(i) + t(n-i-1) + c*n = (2/n)(t(0) + t(1) + t(2) + ... + t(n-1)) + c*n.

令 sumn = t(1) + t(2) + ... + t(n-1)，則：

nt(n) = 2(t(0) + t(1) + t(2) + ... + t(n-1))+ c*(n^2)

(n-1)t(n-1) = 2(t(0) + t(1) + t(2) + ... + t(n-2)) + c*((n-1)^2)

所以，nt(n) - (n-1)t(n-1) = 2*t(n-1) + 2cn - c

t(n) = o(nlogn).

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