設x為乙個數的真值，\(m=2^n\)(n為機器位數)，則在數學表示上
\([x]_補 = m+x\ (mod m),-2^\le x < 2^\)
\([x]_補 + [y]_補 = m+x+m+y(mod m)=m+x+y(mod m)=[x+y]_補\)
可見，補碼加法直接使用加法器相加即可
\([x]_補-[y]_補=m+x-m-y=x-y(mod m)=m+x+m-y(mod m)=[x]_補+[-y]_補\)
補碼減法可以轉化為補碼加法，這也是計算機可以只設計加法器而不一定需要減法器的原因
如何將\([y]_補\)與\([-y]_補\)進行轉化是補碼減法的重點
設\([y]_補=y_ny_\dots y_1\)
（1）當\(0\le y < 2^\)時
\[[y]_補=[y]_原=0,y_y_\dots y_1\\
[-y]_原=1,y_y_\dots y_1\]
y為正，-y為負，則
\[[-y]_補=1,\overline}\ \overline}\dots \overline + 1
\]（2）當 \(-2^ 時
\[[y]_補=1,y_ y_\dots y_1 \\
[y]_原=1,\overline}\ \overline}\dots \overline + 1 \\
[-y]_原=0,\overline}\ \overline}\dots \overline + 1 \]
y為負，-y為正，則
\[[-y]_補=[-y]_原=0,\overline}\ \overline}\dots \overline + 1
\]綜上所述：機器負數轉換方法為
$$[-y]_補=\sim [y]_補 + 1$$
由於機器存放數字的二級制數碼位數有限，當進行模m加法時會出現異常的符號改變現象，稱為溢位。溢位分為以下兩種：
正溢：兩個整數相加得到乙個負數
負溢：兩個負數相加得到乙個負數
假設加法情況如下：
\[運算元a:[x]_補=x_x_\dots x_1\\
運算元b:[y]_補=y_y_\dots y_1\\
兩數和：[s]_補=s_s_\dots s_1
\]方法一：直接檢測
當a>0,b>0但s<0時或a<0,b<0但s>0時顯然發生了溢位，表示為：
\[溢位=x_ny_n\overline + \overline\ \overline s_n
\]假設兩數運算時產生的進製分別是$$c_c_\dots c_1$$
那麼根據剛才的討論可以得到
當a>0,b>0但s<0時，\(a_n=0,b_n=0,s_n=1\),即n-1位發生進製，n位不可能進製，\(c_=1，c_=0\);此時正溢
當a<0,b<0但s>0時，\(a_n=1,b_n=1,s_n=0\),即n位發生進製，n-1位不可能進製，\(c_=1，c_=0\);此時負溢
當a>0,b>0但s>0時，\(a_n=0,b_n=0,s_n=0\),即均不進製，\(c_=0，c_=0\);此時不溢位
當a<0,b<0但s<0時，\(a_n=1,b_n=1,s_n=1\),即均進製，\(c_=1，c_=1\);此時不溢位
綜上所述，那麼可以得到$$溢位=c_ \oplus c_n $$
在運算時臨時將兩運算元的符號位複製一位補在最高位+1的位置
這樣運算就會變成
\[運算元a:[x]_補=x_x_x_\dots x_1\\
運算元b:[y]_補=y_y_y_\dots y_1\\
兩數和：[s]_補=s_s_s_\dots s_1
\]根據\(s_s_\)的不同結果，我們就可以判斷是否發生溢位，這個原理與進製檢測其實是相同的
\[ s_s_=00;無溢位\\
s_s_=01;正溢\\
s_s_=10;負溢\\
s_s_=11;無溢位\\
\]為了節約儲存位數，最後儲存結果時會忽略最高位的\(s_\)的計算結果，僅在運算時擴充為雙符號位
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