假設 \(p(x)\) 是隨機變數 \(x\) 的密度函式，則 \(p(x)\) 傅利葉變換是：
\[\varphi (t) = \int _^ e^ p(x) \mathrmx = e(e^)
\]\(e^ = \cos t + i\sin t \qquad; e(e^) = e(cos) + i e(sin)\) 其中 \(\varphi(x)=e(e^)\) 稱為 \(p(x)\) 的特徵函式。
離散型
\[\varphi(x) = \sum_^ e^p(x)
\]連續型
\[\varphi(x) = \int_^ e^p(x) \mathrmx
\]根據數學期望的定義：
\[e(|x|)=\int _^ |x|p(x)\mathrmx ∈(-\infty,+\infty)
\]那麼特徵函式的總是存在嗎？
\[|e^|=1 \qquad \varphi (t) = \int _^ |e^| p(x) \mathrmx = e(|e^|) < \infty
\]可見特徵函式總是收斂的，數學期望也一定存在，故特徵函式一定存在。
性質1:\(|\varphi(x)|≤\varphi(0)= 1\)
性質2:\(\varphi(-t) = \overline\) 其中\(\overline\) 表示 \(\varphi(t)\) 的共軛
性質3:若\(y = ax + b\) ，其中 \(a,b\) 都是常數， 則
\[\varphi_y(t) = e(e^) = e(e^) =e^e(e^)
\]性質4:獨立隨機變數和的特徵函式為每個隨機變數的特徵函式的積，假設\(x\) 與\(y\) 之間相互獨立則有：
\[\varphi_(t) = \varphi_x(t)*\varphi_y(t)
\]性質5:...
\(p(x) = \lambda e^ \quad x≥0\) 所以它的特徵函式為：
\[\varphi(x) = \int_^ e^\lambda e^ \mathrmx = \lambda [\int_^cos(tx)e^\mathrmx + i\int_^sin(tx)e^\mathrmx] = \lambda (\frac + i\frac) = (1-\frac)^
\]假設 \(y\sim ga(n,\lambda)\) ，則 \(y = x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n\) 其中\(x_i\) 獨立同分布，且 \(x_i\sim ga(1,\lambda)\) ,則 \(x_i\) 的特徵函式為
\[\varphi_(t) = (1-\frac)^
\]有伽馬函式的可加性和上面說到的性質4 \(\varphi_(t) = \varphi_x(t)*\varphi_y(t)\)
\[\varphi_(t) = \pi_^ \varphi_(t) = (1-\frac)^
\]由性質3 \(\varphi_y(t) = e^e(e^)\) 和伽馬分布的特徵函式 \(\varphi_(t)=(1-\frac)^\) 可以證明伽馬分布的伸縮性\(x\sim ga(n,\lambda) \qquad y=\fracx \qquad y\sim ga(n,k\lambda)\)。 假設\(y=\fracx\)
\[\varphi_(t) = e^e(e^) = e^e(e^x})=1*\varphi_x(\fract)=(1-\frac)^ \sim ga(n,k\lambda)
\]的證#
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