一. 異或運算 ＾
december 13, 2012 | 3 minute read
不介紹什麼是異或了，有人叫半加、數學系的叫按位模2加
下文用得到的一些簡單的性質
下面是幾個小題目，可以用異或解決，挺有技巧性
a = a^b
b = a^b
a = a^b
update_2013-05-06: 這個，看到雲風寫了乙個利用這個特性做的雙向鍊錶，挺好玩，忍不住寫過來。
令xor(x)表示將x集合內所有的數做異或
xor(b)^xor(a) = xor(b)^xor(b)^x = 0^x = x
a = (1..10000).to_a
b = a - [1234]
x = (a + b).reduce(&:^)
puts x #1234
via:
首先按上乙個的辦法可以推導出xor(a)^xor(b) = xor(b)^xor(b)^x^y = 0^x^y = x^y
x^y的二進位制結果，第n位為1，說明x和y的第n位不相同
根據第n位是否為0把a裡所有的數分成a1和a0兩個陣列（a1裡的數的二進位制第n位都是1，a0都是0）
a1和a0應該各包含了a或者b（這樣第n位才能異或出1）
同理可以把b分成b1和b0兩個陣列
可以得到第乙個數x = a1^b1
第二個數可以y = a0^b0，當然也可以用x^y^x求得
另外如果x^y為0，即x == y，令sum(x)為x集合內所有數求和
(sum(a) - sum(b)) / 2 = x
via:
xor(a) = x^y^y^…^z^z = x^(y^y^…^z^z) = x^0 = x
x = a.reduce(&:^)
xor的本質相當於「按位模2加」（adding modulo 2），令p1,p2…pn為布林值，true為1、false為0，(+)表示異或操作。
p1 (+) p2 (+) ... (+) pn == ( p1 + p2 + ... + pn ) % 2
所以只需要實現按位模3加
( p1 + p2 + ... + pn ) % 3
將集合中所有數二進位制表示的同一位的0或1相加，最終的和對3去摸，得到的數即是x
如a =，二進位制表示兩個數
101
111111
+ 111
------
434% 3
------
101
但願這坨東西能讓人看懂
via:
這裡的轉換有很多，比如下面這個
x ^ y == (~x & y) | (x & ~y)
具體檢視維基百科 《equivalencies, elimination, and introduction》部分，各種公式
實際運用如下：
最近上leetcoude刷題，題目如下
這個題目要求找出陣列中唯一一次只出現一次的數字（其他數字出現2次），題目本身很簡單，但是想要寫出o(n)的演算法還是需要點技巧的。
這個題目如果是求陣列的和，大家都能寫出o（n）的實現，只用單純的遍歷相加即可。但若要求出其中唯一單次出現的數字時，便沒有這麼直觀了。不過可以基於相加做一些聯想，是否有另外一種運算法則，使得相同的值運算結果為零，不同的值運算結果體現為加？這個聯想可能有點莫名其妙，不過熟悉異或運算的基本性質（結合律），將運算看成二進位制的運算就能夠理解了。異或運算的「半加」特性可以理解為基於二進位制的加法，但是不進製，也就是說加法溢位時丟棄進製。聯想到題目上就是，相同的兩個數異或得0，剩下唯一的乙個單個數字與所有成對的結果0異或，得到唯一得數字。
拓展思維，基於不同的場景，如果能夠對於場景構思出一種滿足結合律得運算方式，那麼這個問題就可以使用乙個o（n）的演算法來解決！
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