設取樣點為\(y_n,n=1,...,n\)，這些取樣點由目標訊號\(m=ae^\)和i/q兩路功率均為\(\sigma^2/2\)的高斯白雜訊\(\omega_n\)組成，對應假設\(h_0\)和\(h_1\)下\(y_n\)的組成分別為：
\[h_0: y_n=\omega_n \\ h_1: y_n=m+\omega_n
\]設\(z_n=|y_n|\)，則對應假設\(h_0\)和\(h_1\)下\(z_n\)分別服從瑞利分布和萊斯分布，其概率密度函式可以表示為：
\[h_0: z_n=|\omega_n|, f(z_n|h_0)=\frac(-\frac),z_n \geq 0
\]\[h_1: z_n=|m+\omega_n|, f(z_n|h_1)=\frac(-\frac)i_0(\frac),z_n \geq 0
\]則\(n\)個取樣點的聯合概率密度函式可以表示為：
\[h_0: z_n=|\omega_n|,f(\boldsymbol|h_0)=\prod_^(-\frac)},z_n \geq 0
\]\[h_1: z_n=|m+\omega_n|,f(\boldsymbol|h_1)=\prod_^(-\frac)i_0(\frac)},z_n \geq 0
\]所以，此時似然比檢驗lrt可以表示為：
\[\lambda=\frac|h_1)}|h_0)}=(-\frac)\prod_^)} \gtrless -\lambda
\]\[(\lambda)=-\frac+\sum_^[i_0(\frac)]} \gtrless (-\lambda)\rightarrow \sum_^[i_0(\frac)]} \gtrless (-\lambda)+\frac=t
\]在上面的表示式中\(i_0()\)是一階修正貝塞爾函式，它滿足如下所似情況:
\[i_0(x)=\sum_^(\frac)^}=1+\frac+\frac+...
\]\[(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...
\]所以
\]所以，上面的lrt檢驗可以化簡為：
\[\sum_^} \gtrless t \rightarrow \upsilon=\sum_^ \gtrless \frac=t' \tag
\]其中\(\upsilon\)表示各個取樣點包絡*方和，是該檢驗的充分統計量。從\((1)\)可知，利用訊號包絡非相干積累並進行檢測，其最佳檢測器*似等於對訊號包絡*方求和進行檢測，即*似於*方率檢測，一般衡量乙個檢測器效能優劣的指標是檢測概率和虛警概率，兩者計算方法如下：
\[p_=\int_^d \tag
\]\[p_=\int_^d \tag
\]上面的表示式可以這麼理解：\(p_\)表示在沒有目標的時候（\(h_0\)情況下）檢測到了目標，即在沒有目標的情況下，樣本的充分統計\(\upsilon\)超過了檢測門限的情況，所以虛警概率是所有在\(h_0\)情況下\(\upsilon\)超過檢測門限的情況之和。\(p_\)表示在有目標的時候（\(h_1\)情況下）成功檢測出來,所以在有目標的情況樣本的充分統計超過門限的所有情況即為檢測概率。所以從上面的分析可知，求某個檢測器的效能，首先需要確定檢測門限，檢測門限由似然比檢測器求得，如\((1)\)所示，該檢測器的檢測門限為\(t'\)。然後需要確定樣本的充分統計量，如\((1)\)所示，該檢測器的充分統計為\(\upsilon=\sum_^\)。最後需要確定樣本充分統計的概率密度函式。知道了上面幾個條件就可以求得檢測器的檢測概率和虛警概率。現在不進行具體求解。
從\((2)\)可以看出,\(p_\)僅由干擾和雜訊分布有關(僅與\(h_0\)情況下的訊號分布有關)，所以對於起伏目標和非起伏目標來說，\(p_\)的最終表示式是一樣的，可以推導得到高斯白雜訊干擾下的*方率檢波器的虛警概率為
\[p_=1-i(\frac},n-1) \\ i(\mu,m)=\int_^}\tau^m}}d\tau
\]可以得到虛警概率受檢測門限和積累樣本數的影響，當積累樣本數為1時，對應的虛警概率為:
\[p_=e^ \tag
\]需要注意的是，在推導\((4)\)結果的過程中我們進行了如下變數代換：\(z_n^=z_n/\sigma\)，其中\(z_n\)實際取樣點的模值，\(z_n^\)是為了計算方便得到的檢波器的輸出，對於沒進行歸一化的取樣值\(z_n\)和*方率檢波來說有\(p_=e^\)，其中\(\sigma^2\)表示全部雜訊功率(包括i通道和q通道)。對於恆虛警檢測來說，一般手動設定\(p_\)大小，根據\(p_=e^\rightarrow t=-\sigma^2p_\)可以獲取檢測門限。但是需要注意的是上面的公式在推導過程中用到了很多*似，實際情況下檢測門限可以建模為\(t=\alpha\sigma^2\)，\(\alpha\)是乙個需要後續確定的乙個引數，它顯然與設定的虛警概率有關，當然還可能與其他引數相關。所以準確估計訊號中的雜訊功率對於設定檢測門限是至關重要的。
目前雷達系統通常是對距離都卜勒譜上每個單元進行檢測的，判斷每個單元上是否存在目標。所以距離多普譜上每個單元的資料就構成了取樣樣本\(y_n\)，在處理過程中並沒有利用多個rd譜上同乙個單元的資料進行積累，所以屬於單樣本檢測問題，所以可以不考慮目標起伏模型，把所有目標當成非起伏目標進行處理。在處理過程中同樣假設資料只受高斯白雜訊干擾，所以其虛警概率模型仍然可以表示為\(p_=e^\)。現在有乙個問題就是設定檢測門限時需要知道取樣樣本中的雜訊功率，這個功率是很難從單個樣本(待檢測單元)中獲取得到的(很難對待檢測單元進行訊號分離，獲取雜訊訊號)，所以需要利用其它單元對該雜訊功率進行估計。此時對其他單元是有一定要求的:
(1)臨*單元所含雜波的統計特性與待檢測單元的一致；
(2)臨*單元內不能包含目標。
高斯雜訊背景下，距離都卜勒譜上的檢測單元服從指數分布，所以可以假設待檢測單元\(x_i\)服從如下概率分布:
\[f(x_i)=\frac(-x_i/\sigma^2)
\]利用相鄰\(n\)個單元上的資料進行雜訊功率的估計，則這\(n\)個單元的聯合概率密度可以表示為：
\[f(\boldsymbol)=\prod_^(-x_i/\sigma^2)}=\frac^n)/\sigma^2]}
\]令\(\frac[f(\boldsymbol(x))]}=0\)，可以求得
\[\hat^2=\frac\sum_^x_i
\]所以門限可以通過下式進行估計
\[\hat=\alpha\hat^2=\frac\sum_^x_i
\]令\(z_i=\alpha x_i/n\)，則\(\hat=\sum_^z_i\)，其中\(z_i\)是\(x_i\)的函式，現在需要利用\(x_i\)的概率密度函式求\(z_i\)的概率密度函式，這是求隨機變數函式的概率密度函式的問題，可以直接得到\(z_i\)的概率密度函式為
\[f(z_i)=\frac(\frac)
\]\(\hat=\sum_^z_i\)的概率密度函式直接求取比較不方便，可以利用分布的特徵函式來間接求取\(\hat\)的概率密度函式。這邊不進行詳細推導，直接給出其概率密度函式:
\[f(\hat)=(\frac)^n\frac^}e^/\alpha\sigma^2}
\]根據估計的門限值\(\hat\)算出來的虛警概率可以表示為\(p_=e^/\sigma^2}\)，所以\(p_\)的期望\(\bar_\)可以表示為:
\[\bar_=\int_^/\alpha\sigma^2}f(\hat)d\hat}=(1+\alpha/n)^
\]在上面的求解過程中用到了隨機變數函式的期望的求解方法。所以可以求解得到:
\[\alpha=n(_}^-1)
\]研究表明，對於swerling1型目標的乙個檢測單元資料在給定門限\(\hat\)下，檢測概率可以表示為\(p_d=[-\hat/(1+\chi)]\)，因為在距離都卜勒譜上面進行目標檢測，每次只包含乙個檢測樣本，所以不存在目標起伏的問題，所以上面的結論也適用swerling2型別目標，所以檢測概率的數學期望可以表示為：
\[\bar_d=\int_^/(1+\chi)}f(\hat)d\hat}=(1+\frac)^
\]需要理解的是上面的結果是基於以下假設進行的，即i/q通道的雜訊均服從高斯分布，*方率檢波器，swerling1 或 swerling2型目標，並且只有乙個待檢測單元的資料。
需要理解上面為什麼計算檢測概率和虛警概率的期望。可以看出這兩者都是檢測門限\(\hat\)的函式，如果\(\hat\)是確定的，那麼\(p_d\)和\(p_\)也將是確定的，但是實際上\(\hat\)是服從一定分布的，但是\(p_d\)和\(p_\)與\(\hat\)的關係卻是確定的，所以這樣的問題，顯然需要採用統計學的方法來解決。
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